Question

1．如圖甲所示，直角坐標系xoy中，第二象限內(nèi)有沿x軸正方向的勻強電場．第一、四象限內(nèi)有垂直坐標平面的勻強交變磁場．磁場方向垂直紙面向外為正方向．第三象限內(nèi)有一發(fā)射裝置（沒有畫出）沿y軸正方向射出一個比荷$\frac{q}{m}$=100C/kg的帶正電的粒子，（可視為質(zhì)點且不計重力），該粒子以v₀=10m/s的速度從x軸上的點A（-1m.0）進入第二象限．從y軸上的點C（0，2m）進入第一象限．取粒子剛進入第一象限的時刻為0時刻，第一、四象限內(nèi)磁場的磁感應強度按圖乙所示規(guī)律變化．g=10m/s²

（1）求第二象限內(nèi)電場的電場強度大小；
（2）求粒子第一次經(jīng)過x軸時的位置坐標；
（3）若保持第一、四象限內(nèi)的磁場大小不變，使其周期變?yōu)門₀=$\frac{3π}{80}$s，該粒子的運動軌跡與x軸的交點坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動能定理及類平拋運動的規(guī)律求解
（2）粒子在交變磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，求出半徑和周期，根據(jù)幾何關(guān)系求出交點坐標
（3）畫出軌跡，考慮周期性，結(jié)合幾何關(guān)系求交點坐標

解答 解：（1）帶電粒子在第二象限的電場中做類平拋運動，設(shè)粒子從A點到C點用時為t，則
$Eq\\{x}_{A}^{\;}\\$$|{x}_{A}^{\;}|$=$\frac{1}{2}m（{v}_{C}^{2}-{v}_{0}^{2}）$
$|{x}_{A}^{\;}|=\frac{{v}_{Cx}^{\;}}{2}t$       
${y}_{C}^{\;}={v}_{0}^{\;}t$
${v}_{C}^{2}={v}_{0}^{2}+{v}_{Cx}^{2}$
解得：E=0.5N/C          ${v}_{C}^{\;}=10\sqrt{2}m$
（2）設(shè)粒子在C點的運動方向與y軸正方向成θ角，則
$cosθ=\frac{{v}_{0}^{\;}}{{v}_{C}^{\;}}=\frac{\sqrt{2}}{2}，即θ=45°$
粒子在第一象限磁場中運動時$q{v}_{C}^{\;}B=m\frac{{v}_{C}^{2}}{r}$
解得$r=\frac{\sqrt{2}}{4}m$
粒子做圓周運動的周期$T=\frac{2πr}{{v}_{C}^{\;}}=\frac{π}{20}s$
所示粒子在磁場中的運動軌跡如圖甲所示，粒子運動第四個半圓的過程中第一次經(jīng)過x軸，在x軸上對應的弦長為$r\sqrt{2}$
所以$OD=2m-r\sqrt{2}$=1.5m
粒子第一次經(jīng)過x軸時的位置坐標為（1.5m，0）
（3）在磁場變化的前半個周期內(nèi)，設(shè)粒子偏轉(zhuǎn)的角度為β，則
$β=\frac{2π}{T}×\frac{{T}_{0}^{\;}}{2}=\frac{3π}{4}$
在該段時間內(nèi)粒子沿y軸負方向運動的距離$△y=rsinθ=\frac{1}{4}m$，沿x軸正方向運動的距離為
$△x=r（1+cosθ）=\frac{\sqrt{2}+1}{4}m$
因為$\frac{{y}_{C}^{\;}}{△y}=8$，所以粒子運動軌跡如圖乙所示，粒子在磁場變化的第8個半周期和第9個半周期內(nèi)共經(jīng)過x軸3次
第1次：${x}_{1}^{\;}=8△x-2rcosθ=（2\sqrt{2}+\frac{3}{2}）m$
第2次：${x}_{2}^{\;}=8△x=（2\sqrt{2}+2）m$
第3次：${x}_{3}^{\;}=8△x+2rcosθ=（2\sqrt{2}+\frac{5}{2}）m$
答：（1）第二象限內(nèi)電場的電場強度大小0.5N/C；
（2）粒子第一次經(jīng)過x軸時的位置坐標（1.5m，0）；
（3）若保持第一、四象限內(nèi)的磁場大小不變，使其周期變?yōu)門₀=$\frac{3π}{80}$s，該粒子的運動軌跡與x軸的交點坐標${x}_{1}^{\;}=（2\sqrt{2}+\frac{3}{2}）m$，${x}_{2}^{\;}=（2\sqrt{2}+2）m$，${x}_{3}^{\;}=（2\sqrt{2}+\frac{5}{2}）m$．

點評 本題中質(zhì)點在復合場運動，分析受力情況，確定質(zhì)點的運動情況是解題的基礎(chǔ)．結(jié)合粒子運動的周期性，運用數(shù)學幾何知識綜合求解．