Question

（2009?東莞模擬）如圖所示，兩條平行長直金屬導(dǎo)軌長為l，間距為d，與水平面成θ角傾斜放置，導(dǎo)軌底端與固定電阻R相連，上端與一小段光滑圓弧軌道相連，圓弧兩端點(diǎn)的切線分別沿著傾斜直導(dǎo)軌與豎直方向，直導(dǎo)軌平面內(nèi)垂直穿過有界勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，有一導(dǎo)體棒ab，質(zhì)量為m，電阻為

R

2

，與直導(dǎo)軌之間的動摩擦因數(shù)為μ，導(dǎo)體棒ab以大小為v₀的初速度從直導(dǎo)軌的最底端沿導(dǎo)軌向上滑出，經(jīng)過圓弧軌道，又返回磁場時(shí)，恰以大小為

v0

2

的速度勻速經(jīng)過磁場而返回起始點(diǎn)．整個(gè)運(yùn)動過程中導(dǎo)體棒始終與兩導(dǎo)軌相垂直且接觸良好，不計(jì)空氣阻力，g取10m/s²．求：
（1）離開磁場后，導(dǎo)體棒ab上升的最大高度離磁場邊緣高度h．
（2）在磁場中向上運(yùn)動的過程中，導(dǎo)體棒消耗的最小電功率P．
（3）整個(gè)運(yùn)動過程中電阻只上產(chǎn)生的電熱Q．

Answer 1

分析：（1）導(dǎo)體棒離開磁場后上升的過程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒，即可列式求得h．
（2）導(dǎo)體棒上滑的過程中做減速運(yùn)動，產(chǎn)生的感應(yīng)電流減小，則導(dǎo)體棒向上運(yùn)動至直導(dǎo)軌末端時(shí)的功率最小．導(dǎo)體棒剛離開磁場時(shí)的速度也為

v0

2

，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和安培力公式，推導(dǎo)出安培力的表達(dá)式，導(dǎo)體棒克服安培力做功的功率等于回路中產(chǎn)生的總的電功率，根據(jù)功率分配求解導(dǎo)體棒消耗的最小電功率P．
（3）根據(jù)能量守恒求出回路中產(chǎn)生的總的焦耳熱，再求解電阻上產(chǎn)生的電熱Q．

解答：解：（1）導(dǎo)體棒從最高點(diǎn)返回到磁場邊界的過程中，由機(jī)械能守恒得：mgh=

1

2

m(

v0

2

)2…①
則導(dǎo)體棒上升的最大高度距磁場邊緣高為：h=

v 2 0

8g

…②
（2）由題意可知，導(dǎo)體棒向上運(yùn)動至直導(dǎo)軌末端時(shí)的功率最小，這個(gè)功率被電阻R和導(dǎo)體棒按阻值分配，導(dǎo)體棒在磁場邊界之外的運(yùn)動過程中機(jī)械能守恒，可知導(dǎo)體棒剛離開磁場時(shí)的速度為

v0

2

，則導(dǎo)體棒向上運(yùn)動至直導(dǎo)軌末端時(shí)感應(yīng)電動勢為：E=Bd

v0

2

…③
 感應(yīng)電流為：I=

E

R+ R 2

…④
安培力為：F=BId…⑤
解得：F=

B2d2v0

3R

…⑥
根據(jù)功能關(guān)系得知，回路中產(chǎn)生的總的電功率：P_電=F?

v0

2

根據(jù)電阻的關(guān)系得，導(dǎo)體棒消耗的最小電功率：P=

1

3

F?

v0

2

…⑦
聯(lián)立解得：P=

B2d2 v 2 0

18R

…⑧
（3）由能量守恒可知整個(gè)運(yùn)動過程中，回路中產(chǎn)生的總電熱為：Q=

1

2

m

v

2 0

-

1

2

m(

v0

2

)2-2μmglcosθ…⑨
故電阻上產(chǎn)生的電熱：Q=

2

3

Q=

1

4

m

v

2 0

-

4

3

μmglcosθ
答：（1）離開磁場后，導(dǎo)體棒ab上升的最大高度離磁場邊緣高度h是

v 2 0

8g

．
（2）在磁場中向上運(yùn)動的過程中，導(dǎo)體棒消耗的最小電功率P是

B2d2 v 2 0

18R

．
（3）整個(gè)運(yùn)動過程中電阻只上產(chǎn)生的電熱Q是

1

4

m

v

2 0

-

4

3

μmglcosθ．

點(diǎn)評：本題是電磁感應(yīng)與力學(xué)知識的綜合，推導(dǎo)安培力的表達(dá)式，分析功與能的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．