Question

宇航員站在一星球表面上的某高處，沿水平方向拋出一個小球，經過時間t，小球落到星球表面，測得拋出點與落地點之間的距離為L．若拋出時的初速增大到2倍，則拋出點與落地點之間的距離為

3

L．已知兩落地點在同一水平面上，該星球的半徑為R，萬有引力常數為G．
（1）求該星球的質量M
（2）求在距離該星球表面H高處的軌道上做勻速圓周運動的飛行器的運動周期．

Answer 1

分析：（1）根據題目中給的平拋的數據及萬有引力等于重力的公式聯立即可求出該星球的質量M；
（2）由萬有引力提供向心力公式即可求出運動周期．

解答：解：（1）設拋出點高度為h，
第一次水平射程為x，則有   x²+h²=L²  ①
當初速增大到2倍，則有   （2x）²+h²=（

3

L）²  ②
豎直方向有  h=

1

2

gt²  ③
根據萬有引力定律G

Mm

R2

=mg   ④
由①②③④解得  M=

2 3 LR2

3Gt2

  
（2）由萬有引力提供向心力得：
G

Mm

(R+H)2

=m(

2π

T

)2(R+H)
解得T=

π(R+H)t

R

2 3 (R+H) L

答：（1）求該星球的質量M為

2 3 LR2

3Gt2

；
（2）在距離該星球表面H高處的軌道上做勻速圓周運動的飛行器的運動周期為

π(R+H)t

R

2 3 (R+H) L

．

點評：關鍵是充分挖掘題目中所給的已知條件，然后再根據所學的公式聯立即可求出．