Question

磁流體動(dòng)力發(fā)電機(jī)的原理如圖所示，一個(gè)水平放置的上下、前后封閉的橫截面為矩形的塑料管，其寬度為l，高度為h，管內(nèi)充滿(mǎn)電阻率為ρ的某種導(dǎo)電流體(如水銀)。矩形塑料管的兩端接有渦輪機(jī)，由渦輪機(jī)提供動(dòng)力使流體通過(guò)管道時(shí)具有恒定的水平向右的流速v₀。管道的前、后兩個(gè)側(cè)面上各有長(zhǎng)為d的相互平行且正對(duì)的銅板M和N。實(shí)際流體的運(yùn)動(dòng)非常復(fù)雜，為簡(jiǎn)化起見(jiàn)作如下假設(shè)：①垂直流動(dòng)方向橫截面上各處流體的速度相同；②流體不可壓縮。

(1)若在兩個(gè)銅板M、N之間的區(qū)域加有豎直向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，則當(dāng)流體以穩(wěn)定的速度v₀流過(guò)時(shí)，兩銅板M、N之間將產(chǎn)生電勢(shì)差。求此電勢(shì)差的大小，并判斷M、N兩板哪個(gè)電勢(shì)較高；

(2)用電阻可忽略不計(jì)的導(dǎo)線(xiàn)將銅板M、N外側(cè)相連接，由于此時(shí)磁場(chǎng)對(duì)流體有力的作用，使流體的穩(wěn)定流速變?yōu)関(v＜v₀)，求磁場(chǎng)對(duì)流體的作用力；

(3)為使流體的流速增加到原來(lái)的值v₀，渦輪機(jī)提供動(dòng)力的功率必須增加，假設(shè)流體在流動(dòng)過(guò)程中所受的阻力與它的流速成正比，試推導(dǎo)出新增加功率的表達(dá)式。

Answer 1

(1)由法拉第電磁感應(yīng)定律，兩銅板間的電勢(shì)差U=E=Blv₀

由右手定則可判斷出M板的電勢(shì)較高

(2)用電阻可忽略不計(jì)的導(dǎo)線(xiàn)將銅板M、N外側(cè)相連接，即銅板由外側(cè)短路后，M、N兩板間的電動(dòng)勢(shì)E=Blv

短路電流I=E／R_內(nèi)      R_內(nèi)=ρ

磁場(chǎng)對(duì)流體的作用力F=BIl

解得：F=

方向與v方向相反(或水平向左)

(3)設(shè)流體在流動(dòng)過(guò)程中所受‘的阻力與流速的比例系數(shù)為k，所以在外電路未短路時(shí)流體以穩(wěn)定速度v₀流過(guò)，此時(shí)流體所受的阻力(即渦輪機(jī)所提供的動(dòng)力)

F₀=kv₀

此時(shí)渦輪機(jī)提供的功率P₀=F₀v₀=k

外電路短路后，流體仍以穩(wěn)定速度v₀流過(guò)時(shí)，設(shè)此時(shí)磁場(chǎng)對(duì)流體的作用力為F_磁，根據(jù)第(2)問(wèn)的結(jié)果可知

F_磁=

此時(shí)渦輪機(jī)提供的動(dòng)力F₁=F₀+F_磁=kv₀+

此時(shí)渦輪機(jī)提供的功率P_t=F_tv₀=k+

所以新增加功率△P=P₁-P₀= 。

說(shuō)明：第(3)問(wèn)如果采用如下做法也得6分：

外電路沒(méi)有接通，流體以穩(wěn)定速度v₀流過(guò)時(shí)，磁場(chǎng)對(duì)流體無(wú)作用力；外電路短路后，流體仍以穩(wěn)定速度v₀流過(guò)，設(shè)此時(shí)磁場(chǎng)對(duì)流體的作用力為F_磁，外接渦輪機(jī)必須增加壓力F用以平衡F_磁，即F=F_磁

根據(jù)第(2)問(wèn)的結(jié)果可知F_磁=

此時(shí)渦輪機(jī)新增加的功率△P=Fv₀=