Question

12．如圖所示，固定的豎直光滑U型金屬導(dǎo)軌，間距為L(zhǎng)，上端接有阻值為R的電阻，處在方向水平且垂直于導(dǎo)軌平面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，質(zhì)量為m、電阻為r的導(dǎo)體棒與勁度系數(shù)為k的固定輕彈簧相連放在導(dǎo)軌上，導(dǎo)軌的電阻忽略不計(jì)．初始時(shí)刻，彈簧處于伸長(zhǎng)狀態(tài)，其伸長(zhǎng)量為x₁=$\frac{mg}{k}$，此時(shí)導(dǎo)體棒具有豎直向上的初速度v₀．在沿導(dǎo)軌往復(fù)運(yùn)動(dòng)的過程中，導(dǎo)體棒始終與導(dǎo)軌垂直并保持良好接觸．則下列說法正確的是（　　）

• A． 初始時(shí)刻導(dǎo)體棒受到的安培力大小F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{R}$
• B． 初始時(shí)刻導(dǎo)體棒加速度的大小a=2g+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{m（R+r）}$
• C． 導(dǎo)體棒往復(fù)運(yùn)動(dòng)，最終將靜止時(shí)彈簧處于壓縮狀態(tài)
• D． 導(dǎo)體棒開始運(yùn)動(dòng)直到最終靜止的過程中，電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q=$\frac{1}{2}$mv₀²+$\frac{2{m}^{2}{g}^{2}}{k}$

Answer 1

分析 由初動(dòng)能E_k=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$求出初速度，由E=BLv、I=$\frac{E}{R}$、F=BIL，求出安培力的大小．
導(dǎo)體棒最終靜止時(shí)，彈簧的彈力與之重力平衡，可求出彈簧的壓縮量，即導(dǎo)體棒下降的高度．從初始時(shí)刻到最終導(dǎo)體棒靜止的過程中，導(dǎo)體棒的重力勢(shì)能和動(dòng)能減小轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢(shì)能和內(nèi)能，根據(jù)能量守恒定律求解電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q．

解答 解：A、導(dǎo)體棒的初速度為v₀，初始時(shí)刻產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E，由法拉第電磁感應(yīng)定律得：
E=BLv₀
設(shè)初始時(shí)刻回路中產(chǎn)生的電流為I，由閉合電路的歐姆定律得：
I=$\frac{E}{R+r}$
設(shè)初始時(shí)刻導(dǎo)體棒受到的安培力為F，由安培力公式得：F=BIL
聯(lián)立上式得，F(xiàn)=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{R+r}$．故A錯(cuò)誤；
B、初始時(shí)刻，彈簧處于伸長(zhǎng)狀態(tài)，棒受到重力、向下的安培力和彈簧的彈力，所以：ma=mg+kx+F
得：a=2g+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{m（R+r）}$．故B正確；
C、從初始時(shí)刻到最終導(dǎo)體棒靜止的過程中，導(dǎo)體棒減少的機(jī)械能一部分轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢(shì)能，另一部分通過克服安培力做功轉(zhuǎn)化為電路中的電能；當(dāng)導(dǎo)體棒靜止時(shí)，棒受到重力和彈簧的彈力，受力平衡，所以彈力的方向向上，此時(shí)導(dǎo)體棒的位置比初始時(shí)刻降低了，故C正確；
D、導(dǎo)體棒直到最終靜止時(shí)，棒受到重力和彈簧的彈力，受力平衡，則：mg=kx₂，得：x₂=$\frac{mg}{k}$．由于x₁=x₂，所以彈簧的彈性勢(shì)能不變，
由能的轉(zhuǎn)化和守恒定律得：mg（x₁+x₂）+E_k=Q
解得系統(tǒng)產(chǎn)生的總熱量：Q=$\frac{1}{2}$mv₀²+$\frac{2{m}^{2}{g}^{2}}{k}$
可知R上產(chǎn)生的熱量要小于系統(tǒng)產(chǎn)生的總熱量．故D錯(cuò)誤．
故選：BC

點(diǎn)評(píng) 本題中安培力的經(jīng)驗(yàn)公式F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$，可以由感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)、歐姆定律、安培力三個(gè)公式結(jié)合推導(dǎo)出來，要加強(qiáng)記憶，有助于分析和計(jì)算．