Question

（2013?寶應(yīng)縣一模）在xoy平面直角坐標(biāo)系的第Ⅰ象限有射線OA，OA與x軸正方向夾角為30°，如圖所示，OA與y軸所夾區(qū)域存在y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，其它區(qū)域存在垂直坐標(biāo)平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)；有一帶正電粒子質(zhì)量m，電量q，從y軸上的P點(diǎn)沿著x軸正方向以大小為v₀的初速度射入電場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間沿垂直于OA方向經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)，過(guò)y軸正半軸上的M點(diǎn)再次垂直進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)．已知OP=h，不計(jì)粒子的重力．
（1）求粒子垂直射線OA經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)的速度v_Q；
（2）求勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E與勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的比值；
（3）粒子從M點(diǎn)垂直進(jìn)入電場(chǎng)后，如果適當(dāng)改變電場(chǎng)強(qiáng)度，可以使粒子再次垂直O(jiān)A進(jìn)入磁場(chǎng)，再適當(dāng)改變磁場(chǎng)的強(qiáng)弱，可以使粒子再次從y軸正方向上某點(diǎn)垂直進(jìn)入電場(chǎng)；如此不斷改變電場(chǎng)和磁場(chǎng)，會(huì)使粒子每次都能從y軸正方向上某點(diǎn)垂直進(jìn)入電場(chǎng)，再垂直O(jiān)A方向進(jìn)入磁場(chǎng)…，求粒子從P點(diǎn)開(kāi)始經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間能夠運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)？

Answer 1

分析：（1）由類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可求得經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)速度；
（2）由電場(chǎng)中的類平拋和磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)可解得電場(chǎng)與磁場(chǎng)強(qiáng)度的比值；
（3）求出第一次離子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，以此類推求出第二次、第三次的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，然后根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)求和即可．

解答：解：（1）設(shè)垂直O(jiān)A到達(dá)Q點(diǎn)的速度為v_Q，將速度分解為水平方向的v₀和豎直方向的v_y，如圖所示，則
v_y=

v0

tan30°

=

3

v0
v_Q=

v0

sin30°

=2v0
（2）做出粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖，根據(jù)幾何知識(shí)可得出原點(diǎn)O即為軌跡圓的圓心，OQ為軌跡圓的半徑，設(shè)為R．
在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，由類平拋的知識(shí)可得：
x=

3

2

R=v₀t₁    vy=

3

v0=

qE

m

t1，
可求得E=

2mv02

qR

在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，由圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)可得：
2qv₀B=

m(2v0)2

R

，B=

2mv0

qR

所以

E

B

=v0
（3）設(shè)粒子第一次在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R₁，在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁₁，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁₂，在電場(chǎng)、磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為t₁，則有
t₁₁=

3 2 R1

v0

=

3 R1

2v0

，t₁₂=

5

6

×

2πR1

2v0

=

5πR1

6v0

，t₁=t₁₁+t₁₂=

3 R1

2v0

+

5πR1

2v0

=(

3

2

+

5π

6

)

R1

v0

又由h-

R1

2

=

3 v0

2

×t11=

3 v0

2

×

3 R1

2v0

=

3

4

R1
解得，R₁=

4

5

h    
從而有t1=(

3

2

+

5π

6

)

R1

v0

=(

3

2

+

5π

6

)

4h

5v0

=(

2 3

5

+

2π

3

)

h

v0

由題意知，改變電場(chǎng)、磁場(chǎng)的強(qiáng)弱后，粒子重復(fù)前面的運(yùn)動(dòng)情況，又設(shè)粒子第二次在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R₂，在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₂₁，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₂₂，在電場(chǎng)、磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為t₂，類似上面的求解，有
t21=

3 2 R2

2v0

=

3 R2

4v0

，t22=

5

6

×

2πR2

4v0

=

5πR2

12v0

，t2=t21+t22=(

3

4

+

5π

12

)

R2

v0

又由R1-

R2

2

=

2 3 v0

2

×t21=

3

v0×

3 R1

4v0

=

3

4

R2
解得，R2=

4

5

R1，將此結(jié)果代入上式可得
t2=

4

5

×(

3

4

+

5π

12

)

R1

v0

=

4

5

t1                                          
…類推可知，粒子第n次在電場(chǎng)、磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間  tn=(

2

5

)n-1t1      
所以粒子最終運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的時(shí)間為
t=

t1

1- 2 5

=

5

3

t1=

5

3

×(

2 3

5

+

2π

3

)×

h

v0

=(

2 3

3

+

10π

9

)

h

v0

答：（1）粒子垂直射線OA經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)的速度為2v₀；（2）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E與勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的比值為v₀；（3）粒子從P點(diǎn)開(kāi)始經(jīng)(

2 3

3

+

10π

9

)

h

v0

能夠運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：此題考查帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況，并能運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解答物體問(wèn)題，屬于難題．