Question

18．如圖所示，一個50匝的矩形線圈abcd，ab邊長為30cm，ad邊長為20cm，在磁感應強度B=0.5T的勻強磁場中，繞與ab平行的中心軸OO′轉動，轉速n=6r/s，線圈始于中性面，求：
（1）線圈中產生的感應電動勢的頻率、周期；
（2）$\frac{1}{48}$s末感應電動勢的瞬時值；
（3）$\frac{1}{48}$s內感應電動勢的平均值；
（4）感應電動勢的最大值和有效值．

Answer 1

分析 （1）已知轉速n=6r/s，可知頻率與轉速數值相等．再由T=$\frac{1}{f}$求出周期．
（2）由E_m=NBSω求出感應電動勢的最大值，從圖示位置開始計時，線圈轉動過程中的感應電動勢的瞬時表達式形式為 e=E_mcosωt，將t=$\frac{1}{48}$s代入求感應電動勢的瞬時值．
（3）根據法拉第電磁感應定律求感應電動勢的平均值．
（4）線圈產生正弦式交變電流，由E=$\frac{\sqrt{2}}{2}{E}_{m}$求感應電動勢的有效值．

解答 解：（1）據題：轉速n=6r/s，則感應電動勢的頻率為：f=6Hz
周期為：T=$\frac{1}{f}$=$\frac{1}{6}$s
（2）線圈轉動的角速度為：ω=2πn=12π rad/s
感應電動勢的最大值為：E_m=nBSω=50×0.5×（0.3×0.2）×12π V=18π V
線圈始于中性面，則感應電動勢的瞬時值表達式為：e=E_m•sinωt=18πsin12πt V
當t=$\frac{1}{48}$s時，代入上式得：e=9$\sqrt{2}$π V
（3）當t=$\frac{1}{48}$s時，線圈從中性面轉過的角度為：α=$\frac{t}{T}•2π$=$\frac{π}{4}$
根據法拉第電磁感應定律得感應電動勢的平均值為：
$\overline{E}$=n$\frac{△Φ}{△t}$=n$\frac{BS-BScos\frac{π}{4}}{△t}$=50×$\frac{0.5×（0.3×0.2）×（1-\frac{\sqrt{2}}{2}）}{\frac{1}{48}}$V=50×1.44（2-$\sqrt{2}$）V≈42V
（4）感應電動勢的有效值為：E=$\frac{\sqrt{2}}{2}{E}_{m}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×18π V=9$\sqrt{2}$π V
答：（1）感應電動勢的頻率為6Hz，周期為$\frac{1}{6}$s．
（2）當t=$\frac{1}{48}$s時，感應電動勢的瞬時值是9$\sqrt{2}$π V．
（3）當t=$\frac{1}{48}$s時，感應電動勢的平均值是42V．
（4）感應電動勢的最大值為18π V，有效值是9$\sqrt{2}$π V．

點評 本題是簡單的交流發(fā)電機的原理，考查綜合應用法拉第定律、歐姆定律等電磁學規(guī)律分析實際問題的能力．要注意只有當線圈從中性面計時時，感應電動勢的瞬時值表達式才為e=E_m•sinωt．