Question

11．已知火星表面附近的重力加速度為g，火星半徑為R，火星自轉(zhuǎn)周期為T．萬有引力常量為G．求：
（1）火星的質(zhì)量；
（2）火星上衛(wèi)星的第一宇宙速度；
（3）火星的同步衛(wèi)星距行星表面的高度h．

Answer 1

分析 根據(jù)已知量，地球表面的物體受到的重力等于萬有引力列出等式，
地球的同步衛(wèi)星的萬有引力提供向心力，可以求出地球同步衛(wèi)星的高度．

解答 解：（1）根據(jù)火星表面物體萬有引力等于重力，可得：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
解得：M=$\frac{{gR}^{2}}{G}$
（2）設(shè)質(zhì)量為m的衛(wèi)星繞火星表面飛行速度為v，萬有引力提供向心力，有：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$=mg
得：v=$\sqrt{gR}$，
（3）其同步衛(wèi)星的周期等于其自轉(zhuǎn)周期T，則對其同步衛(wèi)星有：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r
r=R+h，結(jié)合M=$\frac{{gR}^{2}}{G}$
解得：h=$\root{3}{\frac{{{gR}^{2}T}^{2}}{{4π}^{2}}}$-R
答：（1）火星的質(zhì)量是$\frac{{gR}^{2}}{G}$；
（2）火星上衛(wèi)星的第一宇宙速度是$\sqrt{gR}$；
（3）火星的同步衛(wèi)星距行星表面的高度是$\root{3}{{\frac{{g{R^2}{T^2}}}{{4{π^2}}}}}$-R．

點(diǎn)評 解答此題要清楚地球表面的物體受到的重力等于萬有引力，地球的同步衛(wèi)星的萬有引力提供向心力．