Question

18．磁懸浮列車(chē)是一種高速運(yùn)載工具，它具有兩個(gè)重要系統(tǒng)．一是懸浮系統(tǒng)，利用磁力（可由超導(dǎo)電磁鐵提供）使車(chē)體在導(dǎo)軌上懸浮起來(lái)與軌道脫離接觸從而減小阻力．另一是驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，即利用磁場(chǎng)與固定在車(chē)體下部的感應(yīng)金屬框相互作用，使車(chē)體獲得牽引力，如圖是實(shí)驗(yàn)列車(chē)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的原理示意圖．在水平面上有兩根很長(zhǎng)的平行軌道PQ和MN，軌道間有垂直軌道平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁和B₂，且B₁和B₂的方向相反，大小相等，即B₁=B₂=B．在列車(chē)的底部固定著繞有N匝相同的閉合矩形金屬線(xiàn)圈，并且與之絕緣，整個(gè)線(xiàn)圈的總電阻為R，每個(gè)矩形金屬線(xiàn)圈abcd垂直軌道的邊長(zhǎng)L_ab=L，且兩磁場(chǎng)的寬度均與金屬線(xiàn)圈ad的邊長(zhǎng)相同（列車(chē)的車(chē)廂在圖中未畫(huà)出）．當(dāng)兩磁場(chǎng)B_l和B₂同時(shí)沿導(dǎo)軌方向向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，金屬框也會(huì)受到向右的磁場(chǎng)力，帶動(dòng)列車(chē)沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)．已知列車(chē)車(chē)廂及線(xiàn)圈的總質(zhì)量為M，假設(shè)列車(chē)所受阻力大小恒為f．則：
（1）假設(shè)用兩磁場(chǎng)同時(shí)水平向右以速度V₀作勻速運(yùn)動(dòng)來(lái)起動(dòng)列車(chē)，求列車(chē)向右運(yùn)行的最大速度V_m；
（2）請(qǐng)你分析在（1）的情況下提高列車(chē)最大運(yùn)行速度的可行性措施（至少說(shuō)出3條）以及使列車(chē)減速停車(chē)的可行性措施（至少說(shuō)出2條）；
（3）假如列車(chē)達(dá)到最大速度V_m后向右做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過(guò)時(shí)間t外界提供的總能量；
（4）假如用兩磁場(chǎng)由靜止沿水平向右做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)來(lái)起動(dòng)列車(chē)，當(dāng)兩磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁時(shí)，列車(chē)也正在以速度V₁向右做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，求兩磁場(chǎng)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后到列車(chē)開(kāi)始起動(dòng)所需要的時(shí)間t₀．

Answer 1

分析 （1）由歐姆定律求出感應(yīng)電流，由安培力公式求出安培力，當(dāng)列車(chē)勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)速度最大，應(yīng)用平衡條件可以求出列車(chē)的最大速度．
（2）根據(jù)列車(chē)最大速度的表達(dá)式分析，找出提高最大速度的措施以及使列車(chē)減速停車(chē)的措施．
（3）列車(chē)水平向右以速度v做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，相對(duì)于磁場(chǎng)向左運(yùn)動(dòng)，線(xiàn)框所受的安培力與阻力大小相等，根據(jù)受力平衡，求出電流I，再根據(jù)能量守恒定律E=I²R+fv求出單位時(shí)間內(nèi)需提供的總能量．
（4）為實(shí)現(xiàn)列車(chē)最終沿水平方向做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，其加速度必須與兩磁場(chǎng)由靜止開(kāi)始做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的加速度相同，t₁時(shí)刻金屬線(xiàn)圈中的電動(dòng)勢(shì)：E=2NBL（at₁-v₁），根據(jù)所受的安培力，結(jié)合牛頓第二定律求出列車(chē)最終的加速度．從磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)到列車(chē)起動(dòng)需要時(shí)間為t₀，t₀時(shí)刻金屬線(xiàn)圈中的電動(dòng)勢(shì)E₀=2NBLat₀，當(dāng)t₀時(shí)刻時(shí)安培力增大到與阻力相等，根據(jù)安培力等于阻力求出t₀．

解答 解：（1）感應(yīng)電流：I=$\frac{E}{R}$=$\frac{2NBL（{v}_{0}-{v}_{m}）}{R}$，
線(xiàn)框受到的安培力：F=2NBIL，
列車(chē)勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)速度最大，由平衡條件得：
2NBIL-f=0，
解得：${V_m}={V_0}-\frac{fR}{{4{N^2}{B^2}{L^2}}}$；
（2）由${V_m}={V_0}-\frac{fR}{{4{N^2}{B^2}{L^2}}}$可知，提高列車(chē)最大運(yùn)行速度的可行性措施：減少阻力、減少線(xiàn)圈電阻、增大驅(qū)動(dòng)磁場(chǎng)、增大驅(qū)動(dòng)磁場(chǎng)的運(yùn)行速度等，使列車(chē)減速停車(chē)的可行性措施：切斷電源使磁場(chǎng)停止運(yùn)動(dòng)、改變驅(qū)動(dòng)磁場(chǎng)方向、使驅(qū)動(dòng)磁場(chǎng)反向運(yùn)動(dòng)等；
（3）當(dāng)列車(chē)以速度v_m勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩磁場(chǎng)水平向右運(yùn)動(dòng)的速度為v′，金屬框中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：
E=2NBL（v′-v_m）
金屬框中感應(yīng)電流：I=$\frac{E}{R}$=$\frac{2NBL（v′-{v}_{m}）}{R}$，
由平衡條件得：F=2NBIL=f，
解得：v′=v_m+$\frac{fR}{4{N}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}$，
當(dāng)列車(chē)勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，金屬框中的熱功率為：P₁=I²R，克服阻力的功率為：P₂=fv_m，
外界在單位時(shí)間內(nèi)需提供的總能量為：E=I²Rt+fvt=tfv_m+$\frac{{f}^{2}R}{4{N}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}$t；
（4）根據(jù)題意分析可得，為實(shí)現(xiàn)列車(chē)最終沿水平方向做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，其加速度必須與兩磁場(chǎng)由靜止開(kāi)始做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的加速度相同，設(shè)加速度為a，則t₁時(shí)刻金屬線(xiàn)圈中的電動(dòng)勢(shì)：
E=2NBL（at₁-v₁）
金屬框中感應(yīng)電流：I=$\frac{2NBL（a{t}_{1}-{v}_{1}）}{R}$，
又因?yàn)榘才嗔Γ篎=2NBIL=$\frac{4{N}^{2}{B}^{2}{L}^{2}（a{t}_{1}-{v}_{1}）}{R}$，
對(duì)列車(chē)，由牛頓第二定律得：$\frac{4{N}^{2}{B}^{2}{L}^{2}（a{t}_{1}-{v}_{1}）}{R}$-f=Ma，
解得：a=$\frac{fR+4{N}^{2}{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{4{N}^{2}{B}^{2}{L}^{2}{t}_{1}-MR}$，
設(shè)從磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)到列車(chē)起動(dòng)需要時(shí)間為t₀，則t₀時(shí)刻金屬線(xiàn)圈中的電動(dòng)勢(shì)：E₀=2NBLat₀，
金屬框中感應(yīng)電流：I₀=$\frac{2NBLa{t}_{0}}{R}$，
安培力：F₀=2NBIL=$\frac{4{N}^{2}{B}^{2}{L}^{2}a{t}_{0}}{R}$，
對(duì)列車(chē)，由牛頓第二定律得：$\frac{4{N}^{2}{B}^{2}{L}^{2}a{t}_{0}}{R}$=f，
解得：${t_0}=\frac{fR}{{4{N^2}{B^2}{L^2}{a_{\;}}}}=\frac{{fR（{4{N^2}{B^2}{L^2}{t_1}-MR}）}}{{4{N^2}{B^2}{L^2}（fR+4{N^2}{B^2}{L^2}{v_1}）}}$；
答：（1）列車(chē)向右運(yùn)行的最大速度V_m為：V₀-$\frac{fR}{4{N}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}$．
（2）提高列車(chē)最大運(yùn)行速度的可行性措施：減少阻力、減少線(xiàn)圈電阻、增大驅(qū)動(dòng)磁場(chǎng)、增大驅(qū)動(dòng)磁場(chǎng)的運(yùn)行速度等，
使列車(chē)減速停車(chē)的可行性措施：切斷電源使磁場(chǎng)停止運(yùn)動(dòng)、改變驅(qū)動(dòng)磁場(chǎng)方向、使驅(qū)動(dòng)磁場(chǎng)反向運(yùn)動(dòng)等．
（3）經(jīng)過(guò)時(shí)間t外界提供的總能量tfv_m+$\frac{{f}^{2}R}{4{N}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}$t；
（4）兩磁場(chǎng)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后到列車(chē)開(kāi)始起動(dòng)所需要的時(shí)間t₀為$\frac{fR（4{N}^{2}{B}^{2}{L}^{2}{t}_{1}-MR）}{4{N}^{2}{B}^{2}{L}^{2}（fR+4{N}^{2}{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}）}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵以磁場(chǎng)為參考系，線(xiàn)圈做切割磁感線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生感應(yīng)電流，從而受到安培力，在安培力和阻力的作用下運(yùn)動(dòng)．