Question

2．“天宮一號(hào)”在高軌道，“神舟十號(hào)”飛船在低軌道，各自繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，距離地面的高度分別為h₁和h₂（設(shè)地球半徑為R），“天宮一號(hào)”的運(yùn)行周期約為90分鐘，則求：
（1）“天宮一號(hào)”跟“神舟十號(hào)”的線速度大小之比為v₁：v₂
（2）“天宮一號(hào)”跟“神舟十號(hào)”的向心加速度大小之比a₁：a₂
（3）“天宮一號(hào)”與地球同步衛(wèi)星的軌道半徑大小之比r₁：r₂．

Answer 1

分析 根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力列式，得到線速度、向心加速度和角速度的表達(dá)式，再求解即可．

解答 解：（1、2）根據(jù)G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=ma，又 r=R+h
則得 v=$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$，a=$\frac{GM}{（R+h）^{2}}$，
所以“天宮一號(hào)”跟“神舟十號(hào)”的線速度大小之比為$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\sqrt{\frac{R+{h}_{2}}{R+{h}_{1}}}$，
向心加速度大小之比為$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{（R+{h}_{2}）^{2}}{（R+{h}_{1}）^{2}}$，
（3））“天宮一號(hào)”與地球同步衛(wèi)星的軌道半徑大小之比$\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}=\frac{R+{h}_{1}}{R+{h}_{2}}$．
答：（1）“天宮一號(hào)”跟“神舟十號(hào)”的線速度大小之比為$\sqrt{\frac{R+{h}_{2}}{R+{h}_{1}}}$；
（2）“天宮一號(hào)”跟“神舟十號(hào)”的向心加速度大小之比為$\frac{{（R+{h}_{2}）}^{2}}{{（R+{h}_{1}）}^{2}}$；
（3）“天宮一號(hào)”與地球同步衛(wèi)星的軌道半徑大小之比為$\frac{R+{h}_{1}}{R+{h}_{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)是對(duì)萬(wàn)有引力提供向心力各種表達(dá)式的變形和引用，需要熟練掌握萬(wàn)有引力和圓周運(yùn)動(dòng)公式．