Question

4．如圖，A、C、D分別為光滑絕緣水平面內(nèi)一直角三角形的三個頂點，兩直角邊長分別為a和b． 現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為+q的帶電小球，以初速度v₀從頂點A沿直角邊射出，整個運動過程中因為磁場或電場的作用恰好能經(jīng)過頂點D．
（1）若只存在豎直方向的勻強磁場，試求磁感應強度的大小和方向；
（2）若只存在水平方向的勻強電場，試求電場強度的大小與方向間的關系．

Answer 1

分析 （1）僅在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運動，畫出帶電小球做圓周的運動軌跡，根據(jù)幾何關系求出半徑，根據(jù)牛頓第二定律列式求解B即可；
（2）僅在電場力的作用下，畫出帶電小球的運動軌跡，以A點為坐標原點建立如圖所示平面直角坐標系，設場強E的方向與x軸正方向成α角，根據(jù)運動學基本公式結合幾何關系求解．

解答 解：（1）僅在洛倫茲力的作用下，帶電小球做圓周的運動軌跡如圖所示，

設軌道半徑為r，根據(jù)幾何關系有
（a-r）²+b²=r²
根據(jù)牛頓第二運動定律得：
$Bq{v}_{0}=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{r}$
解得
$B=\frac{2am{v}_{0}}{q（{a}^{2}+^{2}）}$，依左手定則可知磁感應強度方向豎直向上．
（2）僅在電場力的作用下，帶電小球的運動軌跡如圖所示，

以A點為坐標原點建立如圖所示平面直角坐標系，設場強E的方向與x軸正方向成α角．
在x軸方向有
qE_x=ma_x，
$a=\frac{1}{2}{a}_{x}{t}^{2}$，
在y軸方向有
qE_y=ma_y，
$b=-{v}_{0}t+\frac{1}{2}{a}_{y}{t}^{2}$，
而$tanα=\frac{{E}_{y}}{{E}_{x}}$，
由以上各式解得
$E=\frac{2am{{v}_{0}}^{2}}{qcosα（atanα-b）^{2}}$，該關系式需要滿足的條件是$tanα＞\frac{a}$．
答：（1）若只存在豎直方向的勻強磁場，則磁感應強度的大小為$\frac{2am{v}_{0}}{q（{a}^{2}+^{2}）}$，方向豎直向上；
（2）若只存在水平方向的勻強電場，電場強度的大小與方向間的關系為$E=\frac{2am{{v}_{0}}^{2}}{qcosα（atanα-b）^{2}}$，該關系式需要滿足的條件是$tanα＞\frac{a}$．

點評 本題主要考查了帶電粒子在電磁場中的運動，知道僅在洛倫茲力的作用下，帶電小球做圓周運動，要求同學們能畫出粒子的運動軌跡，能根據(jù)幾何關系求解半徑，難度適中．