Question

20．兩顆相距足夠遠的行星a、b，半徑均為R₀，兩行星各自周圍衛(wèi)星的公轉速度的平方v²與公轉半徑的倒數$\frac{1}{r}$的關系圖象如圖所示．則關于兩顆行星及它們的衛(wèi)星的描述，正確的是（　�。�

• A． 行星a的質量較大
• B． 行星a的第一宇宙速度較大
• C． 取相同公轉半徑，行星a的衛(wèi)星向心加速度較小
• D． 取相同公轉速度，行星a的衛(wèi)星周期較小

Answer 1

分析 根據萬有引力提供向心力得出線速度平方與軌道半徑的倒數的關系式，結合圖線斜率比較行星的質量．通過萬有引力提供向心力得出第一宇宙速度，通過行星的質量大小比較第一宇宙速度．根據萬有引力提供向心力得出加速度的表達式，通過公轉半徑和行星的質量，比較衛(wèi)星的向心加速度大�。�根據萬有引力提供向心力得出線速度與軌道半徑的關系式，通過公轉速度相等，行星質量的大小關系得出衛(wèi)星的軌道半徑大小，從而結合周期和線速度的關系比較衛(wèi)星的周期大�。�

解答 解：A、根據$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$得，${v}^{2}=\frac{GM}{r}$，可知v²-$\frac{1}{r}$圖線的斜率表示GM，a的斜率大，則行星a的質量較大，故A正確．
B、根據$G\frac{Mm}{{{R}_{0}}^{2}}=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{R}_{0}}$得，第一宇宙速度${v}_{1}=\sqrt{\frac{GM}{{R}_{0}}}$，因為行星a的質量較大，則行星a的第一宇宙速度較大，故B正確．
C、根據$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=ma$得，a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，取相同的公轉半徑，由于行星a的質量較大，則行星a的衛(wèi)星向心加速度較大，故C錯誤．
D、根據$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$得，v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，取相同的公轉速度，由于行星a的質量較大，可知行星a的衛(wèi)星軌道半徑較大，根據T=$\frac{2πr}{v}$知，行星a的衛(wèi)星周期較大，故D錯誤．
故選：AB．

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力這一重要理論，知道線速度、加速度、周期等物理量與中心天體質量和軌道半徑有關．