Question

14．如圖所示，在半徑為R的圓形區(qū)域內有水平向里的勻強磁場，圓形區(qū)域右側距離圓形區(qū)域右邊緣為d處有一豎直感光板．圓形區(qū)域上側有兩塊平行金屬極板，金屬極板上側有一粒子源，粒子源中可以發(fā)射速度很小的質量為m的2價陽離子（帶電量為+2e），離子重力不計．
（1）若離子從圓形區(qū)域頂點P以速率v₀平行于紙面進入磁場，求在兩塊平行金屬極板上所加的電壓U；
（2）若離子從圓形區(qū)域頂點P以速率v₀對準圓心射入，若它剛好從圓形區(qū)域最右側射出，垂直打在豎直感光板上，求圓形區(qū)域內磁場的磁感應強度B；
（3）若圓形區(qū)域內的磁場的磁感應強度為B，離子以某一速度對準圓心射入，若它從圓形區(qū)域右側射出，以與豎直感光板成60°的角打在豎直感光板上，求它打到感光板上時的速度；
（4）若在圓形區(qū)域右側加上豎直向下的勻強電場，電場強度為E，粒子從圓弧頂點P以速率v₀對準圓心射入，求離子打在MN上的位置距離圓形區(qū)域圓心O的豎直高度h．

Answer 1

分析 （1）離子在金屬極板間做勻加速運動，由動能定理求解電壓U．
（2）離子進入磁場后做勻速圓周運動，若離子從圓形區(qū)域頂點P對準圓心射入，剛好從圓形區(qū)域最右側射出時，其在磁場中運動軌跡為$\frac{1}{4}$圓弧，畫出軌跡，求出軌跡半徑，由牛頓第二定律求解磁感應強度．
（3）結合題意畫出離子的運動軌跡，由幾何知識求出軌跡半徑，即可求得離子的速度．
（4）離子從Q點射出后做類平拋運動，運用運動的分解，由牛頓第二定律和位移公式結合解答．

解答 解：（1）由動能定理可知，2eU=$\frac{1}{2}$mv₀²
解得 U=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{4e}$．
（2）設離子進入磁場中做勻速圓周運動的軌道半徑為r，根據題述，離子在磁場中的運動軌跡為四分之一圓周，且r=R，如圖甲所示，由牛頓第二定律得：
  2ev₀B=m$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{r}$
解得：B=$\frac{m{v}_{0}}{2eR}$                                           

（3）根據題述可知離子以與豎直感光板成60°的角打在豎直感光板上，離子軌跡如圖乙所示．由圖中幾何關系可知，tan60°=$\frac{r}{R}$        

解得離子軌跡半徑r=$\sqrt{3}$R                   
由2evB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：v=$\frac{2\sqrt{3}eBR}{m}$．              
（4）離子從Q點射出后做類平拋運動，如圖丙所示，且
d=v₀t，h=$\frac{1}{2}$at²（2分）
由牛頓第二定律有 a=$\frac{2eE}{m}$                                               
聯立解得：h=$\frac{eE3dlfpxj^{2}}{m{v}_{0}^{2}}$．                                    

答：
（1）在兩塊平行金屬極板上所加的電壓U為$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{4e}$．　
（2）圓形區(qū)域內磁場的磁感應強度B為$\frac{m{v}_{0}}{2eR}$．
（3）它打到感光板上時的速度為$\frac{2\sqrt{3}eBR}{m}$．　
（4）離子打在MN上的位置距離圓形區(qū)域圓心O的豎直高度h為$\frac{eEj1r7trx^{2}}{m{v}_{0}^{2}}$．

點評 本題考查帶電粒子在磁場中的運動，掌握帶電粒子在磁場中運動的半徑公式．本題對數學幾何能力要求較高，需加強這方面的訓練．