Question

3．如圖所示，P為彈射器，PA、BC為光滑水平面分別與傳送帶AB水平相連，CD為光滑半圓軌道，其半徑R=2m，傳送帶AB長(zhǎng)為L(zhǎng)=6m，并以v₀=2m/s的速度逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，現(xiàn)有一質(zhì)量m=1kg的物體（可視為質(zhì)點(diǎn)）由彈射器P彈出后滑向傳送帶經(jīng)BC緊貼圓弧面到達(dá)D點(diǎn)，己知彈射器的彈性勢(shì)能全部轉(zhuǎn)化為物體的動(dòng)能，物體與傳送帶的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.2，若物體經(jīng)過BC段的速度為v，物體到達(dá)圓弧面最高點(diǎn)D時(shí)對(duì)軌道的壓力為F．（g=10m/s²）
（1）寫出F與v的函數(shù)表達(dá)式；
（2）要使物體經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道壓力最小，求此次彈射器初始時(shí)具有的彈性勢(shì)能為多少；
（3）若某次彈射器的彈性勢(shì)能為8J，則物體彈出后第一次滑向傳送帶和離開傳送帶由于摩擦產(chǎn)生的熱量為多少．

Answer 1

分析 （1）對(duì)于物體從B到D的過程，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律求出D點(diǎn)的速度與v的關(guān)系，在D點(diǎn)，由牛頓第二定律求出軌道對(duì)物體的壓力，從而由牛頓第三定律求出F與v的關(guān)系式．
（2）物體經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道壓力最小值是零，由牛頓第二定律求出物體經(jīng)過D點(diǎn)的最小速度，再能量守恒定律求此次彈射器初始時(shí)具有的彈性勢(shì)能．
（3）由機(jī)械能守恒求出物體離開彈簧時(shí)的速度，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出物體在傳送帶滑行時(shí)兩者相對(duì)位移，再求熱量．

解答 解：（1）物體從B到D的過程，由機(jī)械能守恒定律得：
  $\frac{1}{2}m{v}^{2}$=2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
在D點(diǎn)，由牛頓第二定律得：
  F′+mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得 F′=m$\frac{{v}^{2}}{R}$-5mg=$\frac{{v}^{2}}{2}$-50（N）
根據(jù)牛頓第三定律得：F=F′=$\frac{{v}^{2}}{2}$-50（N）
（2）物體經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道壓力最小值是零，在D點(diǎn)，由牛頓第二定律得
  mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$，得 v_D=$\sqrt{gR}$=2$\sqrt{5}$m/s
根據(jù)能量守恒定律得
彈射器初始時(shí)具有的彈性勢(shì)能 E_p=μmgL+$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$+2mgR=62J
（3）若某次彈射器的彈性勢(shì)能為 E_p=8J
設(shè)物體被彈出時(shí)的速度大小為v₁．
則由能量守恒得  E_p=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得 v₁=4m/s
物體在傳送帶滑行時(shí)加速度為 a=$\frac{μmg}{m}$=μg=2m/s²
物體第一次滑向傳送帶至速度減至0的時(shí)間 t₁=$\frac{{v}_{1}}{a}$=$\frac{4}{2}$=2s
此過程物體向右運(yùn)動(dòng)的位移 x₁=$\frac{{v}_{1}}{2}{t}_{1}$=4m＜L，傳送帶的位移 x₂=v₀t₁=4m
速度減至零后物體向左做勻加速運(yùn)動(dòng)，速度從零加速至速度等于傳送帶的速度用時(shí) t₂=$\frac{{v}_{0}}{a}$=1s
此過程物體的位移  x₃=$\frac{{v}_{0}}{2}{t}_{2}$=1m，傳送帶的位移 x₄=v₀t₂=2m
所以物體彈出后第一次滑向傳送帶和離開傳送帶由于摩擦產(chǎn)生的熱量為 Q=μmg[（x₁+x₂）+（x₄-x₃）]=18J
答：
（1）F與v的函數(shù)表達(dá)式是F=$\frac{{v}^{2}}{2}$-50（N）．
（2）彈射器初始時(shí)具有的彈性勢(shì)能是62J．
（3）物體彈出后第一次滑向傳送帶和離開傳送帶由于摩擦產(chǎn)生的熱量為18J．

點(diǎn)評(píng) 本題是傳送帶與平拋運(yùn)動(dòng)的結(jié)合，關(guān)鍵是能正確分析物體的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，準(zhǔn)確分析能量是如何轉(zhuǎn)化的．要注意摩擦生熱與兩物體間的相對(duì)位移有關(guān)．