Question

如圖所示，一塊足夠長(zhǎng)的木板，放在光滑水平面上，在木板上自左向右并非放有序號(hào)是1，2，3，…，n的物體，所有物塊的質(zhì)量均為m，與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)都相同，開始時(shí)，木板靜止不動(dòng)，第1，2，3，…n號(hào)物塊的初速度分別是v，2 v，3 v，…nv，方向都向右，木板的質(zhì)量與所有物塊的總質(zhì)量相等,最終所有物塊與木板以共同速度勻速運(yùn)動(dòng)。設(shè)物塊之間均無相互碰撞，木板足夠長(zhǎng)。試求：

小題1:所有物塊與木板一起勻速運(yùn)動(dòng)的速度v；
小題2:第1號(hào)物塊與木板剛好相對(duì)靜止時(shí)的速度v；
小題3:通過分析與計(jì)算說明第k號(hào)（k＜n＝物塊的最小速度v

Answer 1

小題1:v=（n+1）v，
小題2:v= v
小題3:v=

小題1:設(shè)所有物塊都相對(duì)木板靜止時(shí)的速度為 v，因木板與所有物塊系統(tǒng)水平方向不受外力，動(dòng)量守恒，應(yīng)有：
m v+m·2 v+m·3 v+…+m·n v=（M + nm）v     1
M = nm，           2
解得:   v=（n+1）v，
小題2:設(shè)第1號(hào)物塊相對(duì)木板靜止時(shí)的速度為v，取木板與物塊1為系統(tǒng)一部分，第2 號(hào)物塊到第n號(hào)物塊為系統(tǒng)另一部分，則
木板和物塊1   △p =（M + m）v-m v，
2至n號(hào)物塊   △p=（n-1）m·（v- v）
由動(dòng)量守恒定律：△p=△p，
解得 v= v，      3
小題3:設(shè)第k號(hào)物塊相對(duì)木板靜止時(shí)的速度由v ，則第k號(hào)物塊速度由k v減為v的過程中，序數(shù)在第k號(hào)物塊后面的所有物塊動(dòng)量都減小m（k v- v），取木板與序號(hào)為1至K號(hào)以前的各物塊為一部分，則 
△p=（M+km）v-（m v+m·2 v+…+mk v）=（n+k）m v-（k+1）m v
序號(hào)在第k以后的所有物塊動(dòng)量減少的總量為
△p=（n-k）m（k v- v）
由動(dòng)量守恒得  △p=△p，即
（n+k）m v-（k+1）m v= （n-k）m（k v- v），
解得 v=