Question

18．光滑水平軌道abc、ade在a端很接近但是不相連，bc段與de段平行，尺寸如圖所示．軌道之間存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場．初始時(shí)質(zhì)量m的桿1放置在b、d兩點(diǎn)上，桿2放置在桿1右側(cè)$\frac{L}{2}$處．除桿2電阻為R外，桿1和軌道電阻均不計(jì)．
（1）若固定桿1，對(duì)桿2施加水平向右的外力F，使桿2由靜止開始向右以加速度a做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．推導(dǎo)外力F隨時(shí)間t變化的關(guān)系？
（2）若固定桿2，用水平外力將桿1以初速度v₀向左拉動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中保持桿中電流不變，桿1向左運(yùn)動(dòng)位移L時(shí)速度的大小為多少？
（3）在（2）問的過程中，桿1向左運(yùn)動(dòng)位移L內(nèi)，水平外力做的功為多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式和歐姆定律求解電流，根據(jù)F=BIL求安培力，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律表示外力．
（2）抓住電流不變，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)不變，結(jié)合切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式求出桿1向左運(yùn)動(dòng)位移L時(shí)速度的大小．
（3）因?yàn)榘才嗔�F_A=BIL，切割有效長度L與位移成線性關(guān)系均勻減小，求出這段過程中的平均安培力，從而求出這段過程中安培力做的功，根據(jù)動(dòng)能定理求出水平外力做的功．

解答 解：
（1）桿2時(shí)刻t的速度 v=at    
桿2切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BLv
時(shí)刻t的感應(yīng)電流I=$\frac{E}{R}$
桿2在加速過程中，根據(jù)牛頓第二定律
F-BIL=ma           
聯(lián)立以上關(guān)系式解得：F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}a}{R}t$+ma         
（2）移動(dòng)L后，切割長度為$\frac{L}{2}$                     
此時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)應(yīng)和初始時(shí)大小相同$\frac{1}{2}$BLV₁=BLv₀      
v₁=2v₀                       
（3）由動(dòng)能定理W_F+W_安=$\frac{1}{2}m（2{v}_{0}）^{2}$$-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
因?yàn)榘才嗔�F_A=IlB，切割有效長度l與位移成線性關(guān)系均勻減小
I′=$\frac{BL{v}_{0}}{R}$
W_安=-$\frac{BLI′+\frac{1}{2}BLI′}{2}$L=-$\frac{3{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{4R}$

解得 W_F=$\frac{3{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{4R}$$+\frac{3}{2}$mv${\;}_{0}^{2}$
答：（1）推導(dǎo)外力F隨時(shí)間t變化的關(guān)系：F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}a}{R}t$+ma；
（2）桿1向左運(yùn)動(dòng)位移L時(shí)速度的大小為 2v₀；
（3）桿1向左運(yùn)動(dòng)位移L內(nèi)，水平外力做的功為$\frac{3{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{4R}$$+\frac{3}{2}$mv${\;}_{0}^{2}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式E=BLv，以及歐姆定律、功率等規(guī)律，注意找到不變的物理量．