Question

11．如圖所示，在坐標(biāo)系xoy中，過(guò)原點(diǎn)的直線OC與x軸正向的夾角ψ=120°，在OC右側(cè)有一勻強(qiáng)電場(chǎng)；在第二、三象限內(nèi)有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其上邊界與電場(chǎng)邊界重疊、右邊界為y軸、左邊界為圖中平行于y軸的虛線，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里．一帶正電荷q、質(zhì)量為m的粒子以某一速度自磁場(chǎng)左邊界上的A點(diǎn)射入磁場(chǎng)區(qū)域，并從O點(diǎn)射出，粒子射出磁場(chǎng)的速度方向與x軸的夾角θ=30°，大小為v，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡為紙面內(nèi)的一段圓弧，且弧的半徑為磁場(chǎng)左右邊界間距的兩倍．粒子進(jìn)入電場(chǎng)后，在電場(chǎng)力的作用下又由O點(diǎn)返回磁場(chǎng)區(qū)域，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后再次離開(kāi)磁場(chǎng)．已知粒子從A點(diǎn)射入到第二次離開(kāi)磁場(chǎng)所用的時(shí)間恰好等于粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期．忽略重力的影響．求：
（1）粒子經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)速度的方向和A點(diǎn)到x軸的距離；
（2）粒子兩次經(jīng)過(guò)O點(diǎn)的時(shí)間間隔；
（3）勻強(qiáng)電場(chǎng)的大小和方向．

Answer 1

分析 （1）結(jié)合運(yùn)動(dòng)的軌跡圖象，判斷出圓周運(yùn)動(dòng)的圓心即兩虛線的交點(diǎn)，再根據(jù)洛倫茲力提供向心力，粒子的速度和A到y(tǒng)軸的距離；
（2）（3）粒子進(jìn)入電場(chǎng)后，在電場(chǎng)力的作用下又由O點(diǎn)返回磁場(chǎng)區(qū)域說(shuō)明電場(chǎng)力的方向一定與運(yùn)動(dòng)的方向相反，則電場(chǎng)方向必與v相反；根據(jù)時(shí)間關(guān)系求出粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，進(jìn)而求出電場(chǎng)的強(qiáng)度和方向；

解答 解：（1）粒子第一次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)弧的半徑為磁場(chǎng)左右邊界間距的2倍，如圖做運(yùn)動(dòng)的軌跡，則圓周運(yùn)動(dòng)的圓心即兩虛線的交點(diǎn)．進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度必垂直于磁場(chǎng)邊界，由洛倫茲力提供向心力：$qvB=m\frac{v2}{R}$，
得：R=$\frac{mv}{qB}$，
A點(diǎn)到x軸的距離為：$L=R（1-cos30°）=\frac{mv}{qB}（1-\frac{\sqrt{3}}{2}）$，
（2）（3）設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)，則：vT=2πR
所以：$T=\frac{2πm}{qB}$，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為${t}_{1}=\frac{3{0}^{0}}{36{0}^{0}}T=\frac{T}{12}$
粒子進(jìn)入電場(chǎng)后，在電場(chǎng)力的作用下又由O點(diǎn)返回磁場(chǎng)區(qū)域說(shuō)明電場(chǎng)力的方向一定與運(yùn)動(dòng)的方向相反，則電場(chǎng)方向必與v相反，再次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度方向也與v相反，將向y軸負(fù)方向偏轉(zhuǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖1所示：
運(yùn)動(dòng)時(shí)間為${t}_{3}=\frac{12{0}^{0}}{36{0}^{0}}T=\frac{T}{3}$，
則在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：${t}_{2}=T-{t}_{1}-{t}_{3}=\frac{7T}{12}$
（3）在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)有：-v=v-$\frac{qE}{m}$t₂，
求得：$E=\frac{12Bv}{7π}$
答：（1）粒子經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)的速度方向平行于X軸，A點(diǎn)到x軸的距離$\frac{mv}{qB}（1-\frac{\sqrt{3}}{2}）$，
（2）粒子兩次經(jīng)過(guò)O點(diǎn)的時(shí)間間隔為$\frac{7T}{12}$．
（3）電場(chǎng)方向與v相反，大小$\frac{12Bv}{7π}$；

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，正確地畫(huà)出運(yùn)動(dòng)的軌跡是解題的關(guān)鍵；同時(shí)注意電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)；而在磁場(chǎng)中做的是圓周運(yùn)動(dòng)，要根據(jù)不同的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)進(jìn)行分析；題目的難度較大．