Question

3．如圖所示，讓擺球從圖中的A位置由靜止開始下擺，初始時細線拉直且與豎直方向夾角為θ=60°，當小球擺到最低點B位置時線恰好被拉斷．設(shè)擺長為L，懸點O到地面的豎直高度為H，不計空氣阻力，求：
（1）擺球在B位置時的速度； 
（2）細線所能承受的最大拉力T；
（3）若保持懸點O與地面距離H及θ角不變，改變繩長L，且維持小球的靜止釋放，求當L為多少時，懸點O正下方的C與落地點D之間的距離最大，最大距離是多少？

Answer 1

分析 （1）對AB過程由動能定理可求得B點的速度；
（2）根據(jù)向心力公式可求得繩子需要的拉力；
（3）由平拋運動的規(guī)律可求得水平位移的表達式，再由數(shù)學規(guī)律可求得最大值．

解答 解：（1）對小球由A到B運動過程，根據(jù)動能定理有：
mgL（1-cos60°）=$\frac{1}{2}$mv_B²               
解得：v_B=$\sqrt{gL}$
（2）當小球擺到B位置時，以小球為研究對象
T-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{L}$
解得：T=2mg
（3）繩斷后，小球做平拋運動，根據(jù)平拋運動規(guī)律有
H-L=$\frac{1}{2}$gt²
x=v_Bt
聯(lián)立得：x=$\sqrt{2HL-2{L}^{2}}$=$\sqrt{-2（L-\frac{H}{2}）^{2}+\frac{{H}^{2}}{2}}$
由數(shù)學規(guī)律可得：
L=$\frac{H}{2}$時，x最大，最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$H；
答：（1）擺球在B位置時的速度為$\sqrt{gL}$
（2）細線所能承受的最大拉力為2mg；
（3）當L為$\frac{H}{2}$時，懸點O正下方的C與落地點D之間的距離最大，最大距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$H

點評 本題考查動能定理、平拋運動的綜合應(yīng)用，要注意掌握第三問中極值的計算方法，要靈活應(yīng)用所學數(shù)學知識進行分析求解．