Question

17．假設在月球上的“玉兔號”探測器，以初速度v₀豎直向上拋出一個小球，經過時間t小球落回拋出點，已知月球半徑為R，引力常數為G．
（1）求月球的密度．
（2）若將該小球水平拋出后，小球永不落回月面，則拋出的初速度至少為多大？

Answer 1

分析 1、小球在月球表面做豎直上拋運動，根據勻變速運動可得月球表面重力加速度，根據萬有引力等于重力求得月球質量，再求解密度；
2、由萬有引力等于重力提供向心力可得第一宇宙速度．

解答 解：（1）由勻變速直線運動規(guī)律：v₀=$\frac{gt}{2}$
所以月球表面的重力加速度g=$\frac{{2v}_{0}}{t}$
由月球表面，萬有引力等于重力得
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
M=$\frac{{gR}^{2}}{G}$
月球的密度ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{{3v}_{0}}{2πGRt}$
（2）由月球表面，萬有引力等于重力提供向心力：
mg=$\frac{{mv}^{2}}{R}$
v=$\sqrt{\frac{2{Rv}_{0}}{t}}$
答：（1）月球的密度是$\frac{{3v}_{0}}{2πGRt}$．
（2）若將該小球水平拋出后，小球永不落回月面，則拋出的初速度至少為$\sqrt{\frac{2{Rv}_{0}}{t}}$．

點評 本題重點是利用好豎直上拋，由此可得月球表面的重力加速度，這是在星球表面給加速度的一種常見方式．