Question

4．如圖，一類似“過山車”的光滑軌道由直軌道AB段、彎軌道BC段、水平直軌道CD段、豎直圓軌道DEFG段、水平直軌道DH段順接而成．兩小球a、b用長為L的輕桿連接，從軌道AB段靜止開始滑下，恰好能夠一直沿軌道滑到DH段．已知AB段與水平方向夾角為53°（cos53°=0.6），軌道CD段的長度大于L，圓軌道EDFG段的直徑為L，a、b兩球的質(zhì)量分別為2m，m，重力加速度為g．試求：
（1）剛開始a、b兩球距軌道水平段的高度；
（2）若小球b通過圓軌道最高點(diǎn)F時(shí)對(duì)軌道無壓力，求此時(shí)小球a對(duì)圓軌道的壓力大�。�
（3）b球通過圓軌道的右半圓及左半圓過程中，桿對(duì)a球的功分別為多少？

Answer 1

分析 （1）分析ab兩球的運(yùn)動(dòng)情況，當(dāng)a到達(dá)圓軌道最高點(diǎn)F時(shí)，此時(shí)動(dòng)能為零，系統(tǒng)動(dòng)能最少，以地面為零勢能面，對(duì)系統(tǒng)由機(jī)械能守恒列式求解；
（2）b通過最高點(diǎn)F時(shí)，設(shè)ab的速度大小為v，由機(jī)械能守恒列式，再分別對(duì)a、b根據(jù)向心力公式列式，聯(lián)立方程求解即可；
（3）b球運(yùn)動(dòng)的右半圈，設(shè)ab球再CD段共速為v₁，a從CD段v₁運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，b球由D經(jīng)E到達(dá)F頂端，對(duì)ab由機(jī)械能守恒定律求出v₁，此過程對(duì)a用動(dòng)能定理求出桿做的功，b運(yùn)動(dòng)的左半圈，a球從D點(diǎn)沿DEF上升到F點(diǎn)時(shí)速度為零，對(duì)a由動(dòng)能定理列式求解．

解答 解：（1）ab兩球因輕桿相連不可能脫離軌道，所以恰好能滑過軌道即能量足夠，考慮到b球再圓軌道上升過程中系統(tǒng)勢能增加，動(dòng)能減少，b球下降而a球上升時(shí)，系統(tǒng)勢能繼續(xù)增加，動(dòng)能繼續(xù)減小，所以系統(tǒng)動(dòng)能最少時(shí)為a到達(dá)圓軌道最高點(diǎn)F時(shí)，此時(shí)動(dòng)能為零，設(shè)b球一開始的高度為h，則a球的高度為h+$\frac{4}{5}L$，以地面為零勢能面，由機(jī)械能守恒得：
mgh+2mg（h+$\frac{4}{5}L$）=2mgL
解得：h=$\frac{2}{15}L$，則a球的高度為$\frac{14}{15}L$，
（2）b通過最高點(diǎn)F時(shí)，設(shè)ab的速度大小為v，由機(jī)械能守恒（從b到F點(diǎn)至a到F點(diǎn)）得，
mgL+$\frac{1}{2}（m+2m）{v}^{2}=2mgL$
解得：v=$\sqrt{\frac{2}{3}gL}$
設(shè)此時(shí)桿對(duì)b的拉力為F，對(duì)b，由向心力公式得：
mg+F=m$\frac{{v}^{2}}{\frac{L}{2}}$，
解得：F=$\frac{1}{3}mg$，
設(shè)地面此時(shí)對(duì)a的支持力為N，對(duì)a，根據(jù)向心力公式得：
N-2mg+F=2m$\frac{{v}^{2}}{\frac{L}{2}}$
解得：N=$\frac{13}{3}mg$
由牛頓第三定律可知，a此時(shí)對(duì)地面的壓力也是$\frac{13}{3}mg$，
（3）b球運(yùn)動(dòng)的右半圈，設(shè)ab球再CD段共速為v₁，a從CD段v₁運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)（v=$\sqrt{\frac{2}{3}gL}$），b球由D經(jīng)E到達(dá)F頂端，對(duì)ab由機(jī)械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}（3m）{{v}_{1}}^{2}=mgL+\frac{1}{2}（3m）{v}^{2}$，
解得：${v}_{1}=\sqrt{\frac{4}{3}gL}$
此過程對(duì)a用動(dòng)能定理得：${W}_{1}=\frac{1}{2}（2m）{v}^{2}-\frac{1}{2}（2m）{{v}_{1}}^{2}=-\frac{2}{3}mgL$，
b運(yùn)動(dòng)的左半圈，a球從D點(diǎn)沿DEF上升到F點(diǎn)v₂=0，
對(duì)a由動(dòng)能定理得：${W}_{2}-2mgL=0-\frac{1}{2}（2m）{v}^{2}$得：
b球運(yùn)動(dòng)得左半圈，桿對(duì)a做功W₂=$\frac{4}{3}mgL$．
答：（1）剛開始a、b兩球距軌道水平段的高度分別為$\frac{14}{15}L$和$\frac{2}{15}L$；
（2）若小球b通過圓軌道最高點(diǎn)F時(shí)對(duì)軌道無壓力，此時(shí)小球a對(duì)圓軌道的壓力大小是$\frac{13}{3}mg$；
（3）b球通過圓軌道的右半圓及左半圓過程中，桿對(duì)a球的功分別為$-\frac{2}{3}mgL$和$\frac{4}{3}mgL$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了機(jī)械能守恒定律、動(dòng)能定理以及向心力公式的直接應(yīng)用，兩個(gè)小球的運(yùn)動(dòng)過程相當(dāng)復(fù)雜，要求同學(xué)們能正確分析小球的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，選擇合適的定律求解，難度較大，屬于難題、