Question

2．天文學家觀測河外星系大麥哲倫云時，發(fā)現(xiàn)了LMCX-3雙星系統(tǒng)，它由可見星A和不可見的暗星B構(gòu)成．兩星視為質(zhì)點，不考慮其他天體的影響，A、B圍繞兩者連線上的O點做勻速圓周運動，它們之間的距離保持不變，如圖所示．引力常量為G，由觀測能夠得到可見星A的速率v和運行周期T．
（1）可見星A所受暗星B的引力F_A可等效為位于O點處質(zhì)量為m′的星體（視為質(zhì)點）對它的引力，設(shè)A和B的質(zhì)量分別為m₁、m₂，求m′（用m₁、m₂表示）；
（2）求暗星B的質(zhì)量m₂與可見星A的速率v、運行周期T和質(zhì)量m₁之間的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）抓住A、B做圓周運動的向心力相等，角速度相等，求出A、B軌道半徑的關(guān)系，從而得知A、B距離為A衛(wèi)星的軌道半徑關(guān)系，可見星A所受暗星B的引力F_A可等效為位于O點處質(zhì)量為m′的星體（視為質(zhì)點）對它的引力，根據(jù)萬有引力定律公式求出質(zhì)量m′．
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力求出暗星B的質(zhì)量m₂與可見星A的速率v、運行周期T和質(zhì)量m₁之間的關(guān)系式．

解答 解：（1）設(shè)A、B的圓軌道半徑分別為r₁、r₂，角速度均為ω，
由雙星所受向心力大小相同，可得m₁ω²r₁=m₂ω²r₂
設(shè)A、B之間的距離為L，又L=r₁+r₂由上述各式得：L=$\frac{{m}_{1}+{m}_{2}}{{m}_{2}}$r₁…①
由萬有引力定律得，雙星間的引力為：F=G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}$
將①式代入上式得：F=$G\frac{{m}_{1}{{m}_{2}}^{3}}{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}{{r}_{1}}^{2}}$…②
由題意，將此引力視為O點處質(zhì)量為m′的星體對可見星A的引力，則有：F=G$\frac{{m}_{1}m′}{{{r}_{1}}^{2}}$…③
比較②③可得：m′=$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{（{m}_{1}+{m}_{2}）}^{2}}$…④
（2）對可見星A，有：G$\frac{{m}_{1}m′}{{{r}_{1}}^{2}}={m}_{1}\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$…⑤
可見星A的軌道半徑為：r₁=$\frac{vT}{2π}$…⑥
由④⑤⑥式解得：$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{（{m}_{1}+{m}_{2}）}^{2}}$=$\frac{v3T}{2πG}$．
答：（1）m′=$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{（{m}_{1}+{m}_{2}）}^{2}}$；
（2）暗星B的質(zhì)量m₂與可見星A的速率v、運行周期T和質(zhì)量m₁之間的關(guān)系式為$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{（{m}_{1}+{m}_{2}）}^{2}}$=$\frac{v3T}{2πG}$．

點評 對于天體運動問題關(guān)鍵要建立物理模型．雙星問題與人造地球衛(wèi)星的運動模型不同，兩星都繞著它們之間連線上的一點為圓心做勻速圓周運動，雙星、圓心始終“三點”一線．