Question

3．我國的航空航天事業(yè)取得了巨大成就．2013年12月14日，“嫦娥三號”探測器在月球上的虹灣區(qū)成功實現(xiàn)軟著陸．已知“嫦娥三號”在軟著陸的最后階段，關(guān)閉了反推發(fā)動機，從距月球表面高度h處由靜止開始下落，著陸時速度的大小為v，月球半徑為R．求：
（1）月球表面的重力加速度g₀；
（2）“嫦娥三號”在著陸前的某段時間內(nèi)，環(huán)繞月球做勻速圓周運動，周期為T，求“嫦娥三號”距月球表面的高度H．

Answer 1

分析 （1）著陸的最后階段，探測器做自由落體運動，根據(jù)自由落體運動的運動規(guī)律求月球表面的重力加速度g₀；
（2）根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力，求得軌道半徑，再根據(jù)月球半徑求得距月球表面的高度H．

解答 解：（1）“嫦娥三號”在這段時間內(nèi)做初速為零的勻加速直線運動，由運動學(xué)公式可得：
υ²=2g₀h     
解得：${g_0}=\frac{v^2}{2h}$
（2）設(shè)月球的質(zhì)量為M，“嫦娥三號”的質(zhì)量為m，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律得：
 $G\frac{Mm}{{{{（R+H）}^2}}}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}（R+H）$
在月球表面，有：$G\frac{Mm}{R^2}=m{g_0}$
解得：$H=\root{3}{{\frac{{{g_0}{R^2}{T^2}}}{{4{π^2}}}}}-R=\root{3}{{\frac{{{v^2}{R^2}{T^2}}}{{8h{π^2}}}}}-R$
答：（1）月球表面的重力加速度g₀是$\frac{{v}^{2}}{2h}$．
（2）“嫦娥三號”距月球表面的高度H為$\root{3}{\frac{{v}^{2}{R}^{2}{T}^{2}}{8{hπ}^{2}}}$-R．

點評 掌握自由落體運動的規(guī)律，關(guān)于萬有引力應(yīng)用主要從萬有引力提供圓周運動向心力和萬有引力與重力相等著手處理．