Question

某興趣小組設(shè)計了一種實驗裝置，用來研究碰撞問題，其模型如圖所示.用完全相同的輕繩將N個大小相同、質(zhì)量不等的小球并列懸掛于一水平桿，球間有微小間隔，從左到右，球的編號依次為1，2，3…N，球的質(zhì)量依次遞減，每球質(zhì)量與其相鄰左球質(zhì)量之比為k(k＜1).將1號球向左拉起，然后由靜止釋放，使其與2號球碰撞，2號球再與3號球碰撞…所有碰撞皆為無機械能損失的正碰.(不計空氣阻力，忽略繩的伸長，g取10m／s²)

(1)設(shè)與n+1號球碰撞前，n號球的速度為v_n，求n+1號球碰撞后的速度.

(2)若N＝5，在1號球向左拉高^的情況下，要使5號球碰撞后升高16h(16h小于繩長)，問k值為多少?

Answer 1

解：(1)設(shè)n號球質(zhì)量為m_n，n+1號球質(zhì)量為m_n+1，碰撞后的速度分別為v′_n、v′_n+1，取水平向右為正方向，據(jù)題意有”號球與n+1號球碰撞前的速度分別為v_n，0，m_n+1＝km_n

根據(jù)動量守恒，有m_nv_n＝m_nv′_n+km_nv′_n+1    ①

根據(jù)機械能守恒，有m_n+km_n    ②

由①，②得v′_n+1＝(v′_n+1＝0舍去)

設(shè)n+1號球與n+2號球碰前的速度為v_n+1

據(jù)題意有v_n+1＝v′_n+1  得V_n+1＝v′_n+1＝    ③

(2)設(shè)1號球擺至最低點時的速度為v₁，由機械能

守恒定律有m₁gh＝m₁    ④v₁＝    ⑤

同理可求，5號球碰后瞬間的速度v₅＝    ⑥

由(3)式得v_n+1＝    ⑦

N=n+1＝5時，v₅＝    ⑧

由⑤，⑥，⑧三式得⑨

k=-1≈0.414(k=-1舍去)

(3)設(shè)繩長為l，每個球在最低點時，細繩對球的拉力為F，由牛頓第二定律有

F-m_ng＝⑩則F＝m_ng+m_n=m_ng+2=m_ng+E_kn   

式中E_kn為n號球在最低點的動能由題意1號球的重力最大，又由機械能守恒可知1號球在最低點碰前的動能也最大，根據(jù)式可判斷在1號球碰前瞬間懸掛1號球細繩的張力最大，故懸掛1號球的繩最容易斷.