Question

【題目】如圖所示，傾角30°的光滑斜面上，輕質(zhì)彈簧兩端連接著兩個(gè)質(zhì)量均為m=1kg的物塊B和C，C緊靠著擋板P，B通過(guò)輕質(zhì)細(xì)繩跨過(guò)光滑定滑輪與質(zhì)量M=8kg的物塊A連接，細(xì)繩平行于斜面，A在外力作用下靜止在圓心角為60°、半徑R=2m的的光滑圓弧軌道的頂端a處，此時(shí)繩子恰好拉直且無(wú)張力；圓弧軌道最低端b與粗糙水平軌道bc相切，bc與一個(gè)半徑r=0.2m的光滑圓軌道平滑連接。由靜止釋放A，當(dāng)A滑至b時(shí)，C恰好離開(kāi)擋板P，此時(shí)繩子斷裂。已知A與bc間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1，重力加速度取g=10m/s2，彈簧的形變始終在彈性限度內(nèi)，細(xì)繩不可伸長(zhǎng)。

（1）求彈簧的勁度系數(shù)；

（2）求物塊A滑至b處，繩子斷后瞬間，A對(duì)圓軌道的壓力大小；

（3）為了讓物塊A能進(jìn)入圓軌道且不脫軌，則bc間的距離應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

【答案】（1）5N/m（2）144N（3）0≤Lab≤3m或6m≤Lbc≤8m

【解析】

考查牛頓運(yùn)動(dòng)定律與動(dòng)能定理的綜合應(yīng)用。

（1）A在a處時(shí)，繩子拉直無(wú)張力，彈簧壓縮，設(shè)壓縮量為x1，彈簧彈力為：

A在b處時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)，設(shè)伸長(zhǎng)量為x2，那么：

又有當(dāng)A滑至b時(shí)，C恰好離開(kāi)擋板P，所以，彈簧彈力：

所以:

所以:

（2）A從a到b過(guò)程由，ABC及彈簧系統(tǒng)只有重力、彈簧彈力做功，且A在a處和b處，彈簧的形變量相同，故彈性勢(shì)能不變，彈簧彈力做功為零；那么，ABC及彈簧系統(tǒng)機(jī)械能守恒；

設(shè)A在b處的速度為vb，那么，B的速度為A的速度在沿繩子方向的分速度，故B的速度

則由動(dòng)能定理可得：

所以vb=4m/s；

對(duì)物塊A滑至b處，繩子斷后瞬間應(yīng)用牛頓第二定律，則有：

所以

故由牛頓第三定律可知：物塊A滑至b處，繩子斷后瞬間，A對(duì)圓軌道的壓力大小為144N；

（3）為了讓物塊A能進(jìn)入圓軌道且不脫軌，那么，物塊A在圓軌道上可能達(dá)到的最高點(diǎn)h≤r或者h=2r；

那么，當(dāng)h=2r時(shí)，對(duì)物體A在最高點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律有：

A在圓軌道上運(yùn)動(dòng)，機(jī)械能守恒，所以，A在c處的動(dòng)能：

；

當(dāng)h≤r時(shí)，由機(jī)械能守恒可得A在c處的動(dòng)能：

所以，A在c處的動(dòng)能為Ekc1≥40J或0≤Ekc2≤16J；

又有A在b處的動(dòng)能：

A從b到c運(yùn)動(dòng)過(guò)程，只有摩擦力做功，且摩擦力：

故由動(dòng)能定理可得：

所以， 或。