Question

8．如圖所示，某放射源放出的帶電粒子經(jīng)過某種方式篩選后，得到一束從原點(diǎn)O處沿同一方向射入第一象限，質(zhì)量均為m，電量均為+q的粒子，粒子初速度方向與x軸成θ角，但初速度大小從0到v₀之間的值都有．在整個(gè)第一象限加上沿y軸負(fù)方向，大小為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，忽略重力以及粒子之間的作用力．
（1）初速度為v₀的粒子軌跡頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若在第一象限部分區(qū)域保留電場(chǎng)，其余部分電場(chǎng)都舍去，則可讓所有粒子通過保留電場(chǎng)區(qū)域后速度方向均沿x軸正方向．請(qǐng)寫出最小保留區(qū)域邊界方程，并在圖中大致畫出；
（3）若還要將（2）問中所有粒子匯聚在x軸上距原點(diǎn)O為L(zhǎng)（足夠遠(yuǎn)）的P點(diǎn)，在第一象限還應(yīng)保
留哪一部分面積最小的勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明并在圖中大致畫出．保留必要的電場(chǎng)后，不同初速度的粒子從O運(yùn)動(dòng)到P的時(shí)間不同，求出這些時(shí)間中的最小值．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中沿y軸方向做勻減速運(yùn)動(dòng)，x軸方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解求得軌跡頂點(diǎn)的位置坐標(biāo)；
（2）電場(chǎng)的上邊界為最大速度時(shí)對(duì)應(yīng)的軌跡方程（從出發(fā)到頂點(diǎn)部分），下邊界由不同速度的粒子頂點(diǎn)構(gòu)成的方程；
（3）粒子在同一點(diǎn)射出，根據(jù)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性得出第一象限保留的電場(chǎng)區(qū)域面積，粒子在電場(chǎng)中水平方向的速度大小不變，故粒子運(yùn)動(dòng)最短時(shí)間對(duì)應(yīng)粒子速度最大時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，根據(jù)速度時(shí)間關(guān)系求解即可．

解答 解：（1）初速度為v₀的粒子到達(dá)頂點(diǎn)時(shí)
豎直方向：$\frac{qE}{m}t={v}_{0}sinθ$，
縱坐標(biāo)為：y=$\frac{{v}_{0}sinθ}{2}t$=$\frac{m（{v}_{0}sinθ）^{2}}{2qE}$
水平方向：橫坐標(biāo)為：x=v₀cosθ•t=$\frac{m{v}_{0}^{2}sinθcosθ}{qE}$
（2）每個(gè)粒子只要是在自己軌跡頂點(diǎn)出電場(chǎng)，即可水平出射，即：電場(chǎng)區(qū)域的下邊界由所有粒子軌跡定點(diǎn)構(gòu)成，由（1）得：軌跡定點(diǎn)坐標(biāo)為：
y=$\frac{m（{v}_{0}sinθ）^{2}}{2qE}$，x=$\frac{m{v}_{0}^{2}sinθcosθ}{qE}$，
因?yàn)槌跛俣葀₀為變量參數(shù)，故兩式消去v₀得頂點(diǎn)軌跡（電場(chǎng)區(qū)域下邊緣）方程為：
$y=\frac{sinθ}{2cosθ}x$=$\frac{tanθ}{2}x$
電場(chǎng)區(qū)域上邊緣方程，為初速度為v₀的粒子軌跡方程（從出發(fā)到頂點(diǎn)部分）：
t時(shí)刻粒子坐標(biāo)為：x=v₀tcsoθ，y=${v}_{0}tsinθ-\frac{qE}{2m}{t}^{2}$
兩式中消去時(shí)間t得：$y=xtanθ-\frac{qE}{2m{v}_{0}^{2}co{s}^{2}θ}{x}^{2}$
綜上：電場(chǎng)區(qū)域上邊界方程為：$y=xtanθ-\frac{qE}{2m{v}_{0}^{2}co{s}^{2}θ}{x}^{2}$
電場(chǎng)區(qū)域下邊界方程為：y=$\frac{tanθ}{2}x$
分布如圖所示：

（3）在電場(chǎng)中只受電場(chǎng)力運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知，要將所有已水平向右出射的粒子全部集中于P點(diǎn)，只需將（2）中的電場(chǎng)區(qū)域關(guān)于x=$\frac{L}{2}$對(duì)稱過去即可．
因?yàn)槊總�(gè)粒子水平方向一直都在做勻速直線運(yùn)動(dòng)，且水平位移都為L(zhǎng)，故水平速度最大的時(shí)間最短，即初速度為v₀的粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，最短時(shí)間為：
${t}_{min}=\frac{L}{{v}_{0}cosθ}$
公布如下圖所示：

答：（1）初速度為v₀的粒子軌跡頂點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{m{v}_{0}^{2}sinθcosθ}{qE}$，$\frac{m（{v}_{0}sinθ）^{2}}{2qE}$）；
（2）若在第一象限部分區(qū)域保留電場(chǎng)，其余部分電場(chǎng)都舍去，則可讓所有粒子通過保留電場(chǎng)區(qū)域后速度方向均沿x軸正方向．最小保留區(qū)域上邊界方程為$y=xtanθ-\frac{qE}{2m{v}_{0}^{2}co{s}^{2}θ}{x}^{2}$，下邊界方程為y=$\frac{tanθ}{2}x$，大致如上圖所示；
（3）若還要將（2）問中所有粒子匯聚在x軸上距原點(diǎn)O為L(zhǎng)（足夠遠(yuǎn)）的P點(diǎn)，在第一象限還應(yīng)保
留哪一部分面積最小的勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明并在圖中大致畫出．保留必要的電場(chǎng)后，不同初速度的粒子從O運(yùn)動(dòng)到P的時(shí)間不同，這些時(shí)間中的最小值為$\frac{L}{{v}_{0}cosθ}$．

點(diǎn)評(píng) 弄清粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律作出粒子可能的運(yùn)動(dòng)軌跡是正確處理問題的關(guān)鍵，注意粒子只在電場(chǎng)力作用下的對(duì)稱性是解決問題的關(guān)鍵．