Question

(15分) 如圖所示，左端封閉，右端開口的均勻U型管中用水銀封有一段長150mm的空氣柱。左臂總長為250mm，右臂足夠長。如果將管的開口變?yōu)樨Q直向下，求空氣柱的長度。（設大氣壓為750mmHg）

Answer 1

正確解析：在左臂原有空氣柱長150mm的情況下，兩管之間的水銀柱的高度差與U型管倒轉后空氣柱是否進入右管有關，高度差越大，水銀越重，倒轉后，空氣柱越有可能進入右管。那么，兩臂水銀面高度差為多大，才能讓空氣柱仍留在左臂呢？

　　設初始左、右兩臂水銀面高度差為h，倒轉后空氣柱仍在左臂（如圖）則：由玻意耳定律有：

（750+h）×150S=（750－h(huán)－2x）（150+x）S

　　整理得：2x²+（h－450）x+300h=0

當△=b²－4ac≥0時，方程有實數(shù)解，即

（h－450）²－4×2×300h≥0

　　解得：h≤62.5mm

　　也就是說，只有當兩臂水銀面高度差小于或等于62.5mm時，倒轉后空氣柱才可能仍留在左臂。而本文給出開始時水銀面高度差為100mm＞62.5mm，因此，U型管倒轉后空氣柱會進入右臂。

　　設右臂足夠長，倒轉后，水銀柱已全部進入右臂如圖所示，末狀態(tài)變?yōu)椋篤₂=（250+y）S p₂=（750－30）=450（mmHg）

根據(jù)玻意耳定律：

850×150S=450×（250+y）S

　　解得：y=33.3mm

　　則空氣柱的長度為：L=（250+33.3）=283.3（cm）。

錯解分析：錯解：此題是屬于氣體在等溫情況下壓強和體積的變化的題，可以利用玻意耳定律求解。

　　初態(tài)：p₁=（750+100）=850（mmHg）

　　V₁=150S（cm³）

設倒轉后左臂空氣柱長度增加x，如圖所示，

　　則末態(tài)：p₂=（750－100－2x）=（650－2x）（mmHg）

　　V₂=（150+x）S（cm³）

　　由玻意耳定律有：p₁V₁= p₂V₂

　　即：850×150S=（650－2x）（150+x）S

　　整理得：2x²－350x+30000=0

　　由數(shù)學知識可知，當△=b²－4ac=350²－4×2×3000＜0，方程無解。所以，這道題是一道沒有解的題。

　　在解題時，之所以出現(xiàn)這樣的情況，是因為解題者的思維是勢導致的錯誤，上述解法是從空氣柱仍在左臂的假設出發(fā)的，難道空氣就不能進到右臂？顯然，認為空氣柱仍在左臂的假設是需要重新考慮的。