Question

20．如圖所示，光滑水平面上靜止放置著一輛平板車A，．車上有兩個小滑塊B和C（都可視為質(zhì)點(diǎn)），B與車板之間的動摩擦因數(shù)為μ，而C與車板之間的動摩擦因數(shù)為2μ．開始時B、C分別從車板的左、右兩端同時以大小相同的初速度v_o相向滑行．經(jīng)過一段時間，C、A的速度達(dá)到相等，此時C和B恰好發(fā)生碰撞．已知C和B發(fā)生碰撞時兩者的速度立刻互換，A、B、C三者的質(zhì)量都相等，重力加速度為g．設(shè)最大靜摩擦力大小等于滑動摩擦力．
（1）求開始運(yùn)動到C、A的速度達(dá)到相等時的時間；
（2）求平板車平板總長度；
（3）已知滑塊C最后沒有脫離平板，求滑塊C最后與車達(dá)到相對靜止時處于平板上的位置．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動量定理分別對C、A研究，求出開始運(yùn)動到C、A的速度達(dá)到相等時的時間．
（2）由動量定理求出C和B發(fā)生碰撞時B的速度，用平均速度分別求出從開始到C、B碰撞的過程C、B的位移大小，兩者之和等于平板車平板總長度；
（3）C和B發(fā)生碰撞時兩者交換速度．根據(jù)牛頓第二定律運(yùn)動整體法和隔離法判斷是否相對靜止．再根據(jù)動能定理分別研究C、A的位移，由幾何關(guān)系求出滑塊C在車板上運(yùn)動的總位移，確定C最后與車達(dá)到相對靜止時處于平板上的位置．

解答 解：（1）設(shè)A、B、C三個物體的質(zhì)量都為m，從開始到C、A的速度達(dá)到相等的過程所用時間為t，C、A相等的速度為v_C，根據(jù)動量定理得
 對C：-2μmgt=mv_C-mv₀
 對A：（2μmg-μmg）t=mv_C
聯(lián)立解得，t=$\frac{{v}_{0}}{3μg}$，v_C=$\frac{1}{3}$v₀，
（2）對B，由動量定理得，
-μmgt=mv_B-mv₀，解得：v_B=$\frac{2}{3}$v₀，
對C：x_C=$\frac{{v}_{0}+{v}_{C}}{2}$t，
對B：x_B=$\frac{{v}_{0}+{v}_{B}}{2}$t，
平板車平板總長度L=x_B+x_C
解得：L=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$；
（3）對A：x_A=$\frac{{v}_{A}}{2}$t=$\frac{{v}_{0}^{2}}{18μg}$，A、B、C三者的位移和末速度分別為：
x_A=$\frac{{v}_{0}^{2}}{18μg}$，方向向左；x_B=$\frac{5{v}_{0}^{2}}{18μg}$，方向向右；x_C=$\frac{2{v}_{0}^{2}}{9μg}$，方向向左．
v_A=v_C=$\frac{1}{3}$v₀，方向向左；v_B=$\frac{2}{3}$v₀，方向向右．C和B發(fā)生碰撞時兩者的速度立刻互換，
則碰撞后C和B的速度各為：v_C′=$\frac{2}{3}$v₀，方向向右，v_B′=$\frac{1}{3}$v₀，方向向左．
碰撞后B和A的速度相等，設(shè)B和A保持相對靜止一起運(yùn)動，此時對B和A整體有f_C=2μmg=2ma
對B：B受到的摩擦力為f_B′=ma=μmg，說明B和A保持相對靜止一起運(yùn)動．
設(shè)C最后停在車板上時，共同速度為v，以C的初速度放為正方向，
由動量守恒定律得：mv_C′-2mv_B′=2mv，解得：v=0，
對這一過程，對C，由動能定理得：-2μmgS_C′=0-$\frac{1}{2}$mv_C′²，
對B和A整體，由動能定理得
-2μmgS_A′=0-$\frac{1}{2}$•2mv_B′²
解得，C和A的位移分別是
  S_C′=$\frac{2{v}_{0}^{2}}{9μg}$，向右，S_A′=$\frac{{v}_{0}^{2}}{18μg}$，向左．
則C先相對于車板向左移動x₁=x_C-x_A=$\frac{{v}_{0}^{2}}{6μg}$，后相對于車板向右移動S=S_C′-S_A′=$\frac{{v}_{0}^{2}}{6μg}$，恰好回到原來的位置，即滑塊C最后停在車板的右端．
答：（1）開始運(yùn)動到C、A的速度達(dá)到相等時的時間為$\frac{{v}_{0}}{3μg}$；
（2）平板車平板總長度L=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$；
（3）滑塊C最后停在車板的右端．

點(diǎn)評 本題是動量定理、動能定理、動量守恒定律、牛頓第二定律等力學(xué)知識的綜合應(yīng)用，要會選擇解題規(guī)律：涉及力在時間的累積效果可選用動量定理研究．涉及力在空間的累積效果可選用動能定理研究．