Question

20．某人騎摩托車由靜止從A地沿平直公路經(jīng)小村莊駛向并停在D地，B．C為小村莊的兩個(gè)村口，AD總位移為X=1000m．為安全起見，要求穿過村莊的速度不得超過v₁=4m/s，AB和BC段的距離分別為X₁=242m．X₂=300m，已知該摩托車的最大速度為v=40m/s，啟動(dòng)加速度大小為a₁=4m/s²，剎車加速度大小為a₂=8m/s²．
求（1）分別求摩托車從靜止加速到v和從v減速到v₁所經(jīng)過的位移；
（2）該摩托車從A到D的最短時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度位移公式求出加速和減速運(yùn)動(dòng)的位移．
（2）當(dāng)摩托車先加速到最大速度，到達(dá)村口前減速運(yùn)動(dòng)規(guī)定速度，然后再增大到最大速度，到達(dá)村口前再減小到規(guī)定的速度，過了第二個(gè)村口，再加速到最大速度，最后減速到零，這樣所用的時(shí)間最短，結(jié)合速度時(shí)間公式和位移公式進(jìn)行求解．

解答 解：（1）摩托車從靜止加速到v的運(yùn)動(dòng)位移為：${x}_{01}=\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}=\frac{4{0}^{2}}{2×4}m=200m$
從v減速到v₁的運(yùn)動(dòng)位移為：${x}_{02}=\frac{{v}_{1}^{2}-{v}^{2}}{-2{a}_{2}}=\frac{{4}^{2}-4{0}^{2}}{-2×8}m=99m$
（2）顯然x₀₁+x₀₂＞x₁，說明摩托車在AB段沒有達(dá)到最大速度v．
設(shè)此過程中的最大速度為v₂，則有：$\frac{{v}_{2}^{2}}{2{a}_{1}}+\frac{{v}_{1}^{2}-{v}_{2}^{2}}{-2{a}_{2}}={x}_{1}$
代入數(shù)據(jù)解得：v₂=36m/s
則在AB段摩托車運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間為：${t}_{1}=\frac{{v}_{2}}{{a}_{1}}+\frac{{v}_{1}-{v}_{2}}{-{a}_{2}}$=$\frac{40}{8}+\frac{4-36}{-4}s=13s$
摩托車穿過小村莊的最短時(shí)間為：${t}_{2}=\frac{{x}_{2}}{{v}_{1}}=\frac{300}{4}s=75s$
摩托車在CD段位移為：x₃=x-（x₁+x₂）=1000-（242+300）m=458m
從速度v₁加速到v的運(yùn)動(dòng)位移為：${x}_{03}=\frac{{v}^{2}-{v}_{1}^{2}}{2{a}_{1}}=\frac{4{0}^{2}-{4}^{2}}{2×4}m=198m$
從v減速為0通過位移：${x}_{04}=\frac{{v}^{2}}{2{a}_{2}}=\frac{4{0}^{2}}{2×8}m=100m$
因?yàn)椋簒₀₅=x₃-（x₀₃+x₀₄）=458-（198+100）m=160m
則摩托車在CD段運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間：
${t}_{3}=\frac{v-{v}_{1}}{{a}_{1}}+\frac{{x}_{05}}{v}+\frac{v}{{a}_{2}}=\frac{40-4}{4}+\frac{160}{40}+\frac{40}{8}s=18s$
從摩托車從A到D的最短時(shí)間為：
t=t₁+t₂+t₃=13+75+18s=106s
答：（1）摩托車從靜止加速到v和從v減速到v₁所經(jīng)過的位移分別為200m和99m；
（2）該摩托車從A到D的最短時(shí)間為106s．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握勻變速直線運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，理清整個(gè)過程中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式靈活求解．