Question

如圖甲所示，真空中的電極K連續(xù)不斷地發(fā)出電子（電子的初速度可忽略不計），經(jīng)電壓為U_l的電場加速，加速電壓U_l隨時間t變化的圖象如圖乙所示．每個電子通過加速電場的過程時間極短，可認為加速電壓不變．電子被加速后由小孔S從穿出，設每秒K向加速電場發(fā)射的電子數(shù)目恒定．出加速電場后，電子沿兩個彼此靠近且正對的水平金屬板A、B間中軸線射入偏轉(zhuǎn)電場，A、B兩板長均為L=0.20m，兩板之間距離d=0.40m，A板的電勢比B板的電勢高．A，B板右側(cè)邊緣到豎直放置的熒光屏P（面積足夠大）之間的距離b=0.20m．熒光屏的中心點O與A、B板的中心軸線在同一水平直線上．不計電子之間的相互作用力及其所受的重力，求：
（l）要使電子都打不到熒光屏上，則A，B兩板間所加電壓U₂應滿足什么條件；
（2）當A、B板間所加電U₂=200V時，打到熒光屏上的電子距離中心點O在多大的范圍內(nèi)；
（3）在A、B間加適當?shù)碾妷�，在較長時間內(nèi)可以使從加速電場中出來的電子90%都能打在熒光屏上，則此情況下所有能打到屏上的電子的動能的最小值為多少．

Answer 1

分析：（1）電子做類平拋運動，根據(jù)動能定理與運動學公式，即可求解；
（2）電子做類平拋運動，根據(jù)側(cè)移量，結合幾何關系，可求出最大范圍；由U₁越大y越小，根據(jù)運動學公式可求出最小范圍，從而即可求解；
（3）由只要使10V-100V的加速電壓下的電子都能打到屏上，就滿足了電子都能打在熒光屏上條件．根據(jù)運動學公式，得出

U

′ 1

=20V時，打在屏上動能最小，從而即可求解．

解答：解：（1）設電子的質(zhì)量為m，電量為e，電子通過加速電場后的速度為v₀，
由動能定理有：eU1=

1

2

m

v

2 0

電子通過偏轉(zhuǎn)電場的時間t=

L

v0

此過程中電子的側(cè)向位移y=

1

2

at2=

1

2

eU2

dm

(

L

v0

)2
解得：y=

U2L2

4dU1

要使電子都打不到屏上，應滿足U₁取最大值100V時仍有y＞0.5d
代入數(shù)據(jù)可得，為使電子都打不到屏上，U₂至少為800V．
（2）當電子恰好從A板右邊緣射出偏轉(zhuǎn)電場時，
其側(cè)移最大y_max=0.5d=0.2m電子飛出偏轉(zhuǎn)電場時，
其速度的反向延長線通過偏轉(zhuǎn)電場的中心，
設電子打在屏上距中心點的最大距離為，
則由幾何關系可得，

Ymax

ymax

=

b+ L 2

L 2

解得Ymax=

b+ L 2

L 2

ymax=0.6m
由第（1）問中的y=

U2L2

4dU1

可知，在其它條件不變的情況下，U₁越大y越小，
所以當U₁=100V時，電子通過偏轉(zhuǎn)電場的側(cè)移量最小，
其最小側(cè)移量，ymin=

U1L2

4dU1

=0.05m
同理，電子打在屏上距中心的最小距離Ymin=

b+ L 2

L 2

ymin=0.15m
所以電子打在屏上距中心點O在0.15m～0.6m范圍內(nèi)．
（3）使從加速電場中出來的電子都能打在熒光屏上，則必需使10%的電子落在極板上，對加速電壓100V×10%可知，
只要使10V-100V的加速電壓下的電子都能打到屏上，就滿足了電子都能打在熒光屏上條件．
由y=

d

2

=

1

2

eU2

dm

(

L

v0

)2=

U2L2

4dU1

對U₁=10V時還能打到屏上，偏轉(zhuǎn)電壓應該U₂=80V
打到屏上電子的動能EK=e

U

′ 1

+e

U2

d

y
上式中U₂=80V，

U

′ 1

為10V-100V范圍中的某一電壓
y=

1

2

eU2

dm

(

L

v0

)2=

U2L2

4d U ′ 1

=

2

U ′ 1

EK=e

U

′ 1

+e

U2

d

y=e(

U

′ 1

+

400

U ′ 1

)
則當

U

′ 1

=

400

U ′ 1

時，即

U

′ 1

=20V時，打在屏上動能最小，最小E_K=40eV
答：（l）要使電子都打不到熒光屏上，則A，B兩板間所加電壓U₂應滿足至少為800V條件；
（2）當A、B板間所加電U₂=200V時，打到熒光屏上的電子距離中心點O在0.15m～0.6m的范圍內(nèi)；
（3）在A、B間加適當?shù)碾妷海�在較長時間內(nèi)可以使從加速電場中出來的電子90%都能打在熒光屏上，則此情況下所有能打到屏上的電子的動能的最小值為40eV．

點評：考查電子在電場中做類平拋運動，學會運動的分解，并根據(jù)運動學公式與牛頓第二定律及動能定理綜合解題，強調(diào)電子在不同的電場中的運動與受力情況．