Question

15．我國(guó)探月工程實(shí)施“繞”、“落”、“回”發(fā)展戰(zhàn)略．“繞”即環(huán)繞月球進(jìn)行月表探測(cè)，2007年10月24日成功發(fā)射“嫦娥一號(hào)”探測(cè)器完成繞月探測(cè)；“落”是著月探測(cè)，2013年12月2日成功發(fā)射“嫦娥三號(hào)”并于2013年12月14日成功實(shí)施軟著陸，傳回圖象，釋放月球車(chē)；“回”是在月球表面著陸，并采樣返回，計(jì)劃于2017年前后實(shí)施． 若“嫦娥三號(hào)”繞月球的運(yùn)動(dòng)可以近似看做是勻速圓周運(yùn)動(dòng)．若月球半徑R，月球表面的重力加速度為g₀，求：
（1）“嫦娥三號(hào)”在半徑為3R的圓軌道上運(yùn)行時(shí)，其速度v為多大？
（2）“嫦娥三號(hào)”繞月球運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)時(shí)，其軌道半徑r為多大？

Answer 1

分析 由萬(wàn)有引力提供向心力可確定出線速度，用周期表達(dá)出向心加速度代入萬(wàn)有引力提供向心力的等式可求得半徑r．

解答 解：（1）月球表面由$m{g}_{0}=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$可得：${g}_{0}=\frac{GM}{{R}^{2}}$  ①在3R的圓軌道上，$G\frac{Mm}{（3R）^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{3R}$  ②
由①②可解得v=$\sqrt{\frac{R{g}_{0}}{3}}$
（2）萬(wàn)有引力提供向心力：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$  ③
由①③可解得：r=$\root{3}{\frac{{g}_{0}{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
答：（1）“嫦娥三號(hào)”在半徑為3R的圓軌道上運(yùn)行時(shí)，其速度v為$\sqrt{\frac{R{g}_{0}}{3}}$．
（2）“嫦娥三號(hào)”繞月球運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)時(shí)，其軌道半徑r為$\root{3}{\frac{{g}_{0}{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力提供向心力這一理論，并能根據(jù)題意結(jié)合向心力的幾種不同的表達(dá)形式，選擇恰當(dāng)?shù)南蛐牧Φ谋磉_(dá)式．