Question

13．如圖所示，傾角為θ=30°的光滑斜面上，放有質(zhì)量不等的兩個小物塊，物塊之間用一輕彈簧相連接，當彈簧被壓縮到長為L=3m時，用一細線連接兩物塊，下面質(zhì)量為m=1kg的物塊離斜面底端所在水平面的高度為H=15m．兩物塊從靜止開始下滑，當都進入光滑水平地面時（不計與地面碰撞的機械能損失），細線被燒斷，質(zhì)量為M=2kg的物塊能沿斜面剛好上升到h=4m高處，質(zhì)量為m的物塊滑上一質(zhì)量為M的長木板，長木板上表面與左端水平地面等高，下表面光滑，物塊m沒有從木板滑下．（已知重力加速度g=10m/s²），求：
（1）物塊M在斜面上滑動時，彈簧和細線對物塊m做的總功．
（2）物塊m在木板上滑動時產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析 （1）物塊m在斜面上滑動時彈簧和細線對它的總作用力為零，不做功．假設物塊m剛到達水平地面時的速度為v₁，對系統(tǒng)由動能定理列式，物塊M剛到達水平地面時的速度為v₂，對系統(tǒng)由動能定理列式，而彈簧和細線對物塊m做的總功等于m動能的變化量，聯(lián)立方程即可求解；
（2）細線被燒斷后，物塊M的速度為v₃，物塊m的速度為v₄，兩物塊動量守恒，根據(jù)動量守恒定律列式，物塊M從新上升到斜面的最高點過程中，由動能定理列式，另一質(zhì)量為m的物塊滑上一質(zhì)量為M的長木板的過程中，根據(jù)動量守恒定律列式，再由能量守恒得物塊m在木板上滑動時產(chǎn)生的熱量，聯(lián)立方程即可求解．

解答 解：（1）物塊m在斜面上滑動時彈簧和細線對它的總作用力為零，所以不做功．
假設物塊m剛到達水平地面時的速度為v₁，對系統(tǒng)由動能定理得：
（M+m）gH=$\frac{1}{2}$（M+m）v₁²                      ①
物塊M剛到達水平地面時的速度為v₂，對系統(tǒng)由動能定理得
（M+m）gH+MgLsin θ=$\frac{1}{2}$（M+m）v₂²            ②
所以彈簧和細線對物塊m做的總功
W=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₁²                           ③
聯(lián)立以上①②③式可得
W=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₁²=$\frac{MmgLsinθ}{M+m}$=10 J．
（2）細線被燒斷后，物塊M的速度為v₃，物塊m的速度為v₄，兩物塊動量守恒
（M+m）v₂=-Mv₃+mv₄④
物塊M從新上升到斜面的最高點過程中，由動能定理得
-Mgh=0-$\frac{1}{2}$Mv₃²                          ⑤
另一質(zhì)量為m的物塊滑上一質(zhì)量為M的長木板動量守恒
0+mv₄=（M+m）v₅⑥
由能量守恒得物塊m在木板上滑動時產(chǎn)生的熱量
Q=$\frac{1}{2}$mv₄²-$（\frac{1}{2}m{{v}_{5}}^{2}+\frac{1}{2}M{{v}_{5}}^{2}）$ ⑦
聯(lián)立求得：Q=$\frac{1}{2}$mv₄²-$（\frac{1}{2}m{{v}_{5}}^{2}+\frac{1}{2}M{{v}_{5}}^{2}）$=$\frac{5120}{3}$J=1707 J．
答：（1）物塊M在斜面上滑動時，彈簧和細線對物塊m做的總功為10J．
（2）物塊m在木板上滑動時產(chǎn)生的熱量為1707J．

點評 本題主要考查了動能定理、動量守恒定律、能量守恒定律的直接應用，過程較為復雜，要求同學們正確分析物體的受力情況和運動情況，選擇合適的定理求解，難度較大．