Question

18．如圖所示，一個豎直放置的圓錐筒可繞其中心OO′轉動，筒內壁粗糙，筒口半徑和筒高分別為R和2R，內壁上A點有一質量為m的物塊（視為質點）隨圓錐筒一起以角速度ω轉動，與筒壁始終相對靜止，A點的高度為筒高的一半．則下列說法正確的是（　　）

• A． 當ω緩慢增大時，物塊受到筒壁的摩擦力一直增大
• B． 當ω緩慢增大時，物塊受到筒壁的作用力一直增大
• C． 當ω=$\sqrt{\frac{g}{R}}$時，小物塊受到的摩擦力大小為$\frac{3\sqrt{5}}{10}$mg
• D． 當ω=$\sqrt{\frac{7g}{R}}$時，小物塊受到的摩擦力大小為$\frac{3\sqrt{5}}{10}$mg

Answer 1

分析 根據牛頓第二定律求出物塊所受摩擦力為零時的角速度，從而判斷出摩擦力的方向，抓住豎直方向上的合力為零，水平方向上的合力提供向心力，求出摩擦力的大小．

解答 解：A、當物塊所受的摩擦力為零時，物塊的受力如圖所示，由幾何關系知，tan（90°-θ）=$\frac{1}{2}$，根據mgtanθ=m$•\frac{R}{2}{ω}^{2}$得，解得ω=$\sqrt{\frac{4g}{R}}$，
當角速度$ω＞\sqrt{\frac{4g}{R}}$，物塊所受的靜摩擦力沿筒壁向下，當角速度增大時，物塊所受筒壁的摩擦力增大，當角速度$ω＜\sqrt{\frac{4g}{R}}$，物塊所受的靜摩擦力沿筒壁向上，當角速度增大時，摩擦力減小，故A錯誤．
B、因為角速度增大時，向心力增大，即物塊所受的合力增大，合力等于重力和物塊所受筒壁作用力的合力，根據平行四邊形定則知，物塊受到筒壁的作用力增大，故B正確．
C、當ω=$\sqrt{\frac{g}{R}}$時，物塊所受的靜摩擦力沿筒壁向上，在水平方向上有：$Nsinθ-fcosθ=m•\frac{R}{2}{{ω}_{1}}^{2}$，豎直方向上有：Ncosθ+fsinθ=mg，
聯(lián)立解得f=$\frac{3\sqrt{5}}{10}mg$，故C正確．
D、當ω=$\sqrt{\frac{7g}{R}}$時，物塊所受的靜摩擦力方向沿筒壁向下，在水平方向上有：$Nsinθ+fcosθ=m•\frac{R}{2}{{ω}_{2}}^{2}$，在豎直方向上有：Ncosθ-fsinθ=mg，
聯(lián)立解得f=$\frac{3\sqrt{5}}{10}mg$，故D正確．
故選：BCD．

點評 本題是圓錐擺類型，解決本題的關鍵知道物塊做圓周運動向心力的來源，結合牛頓第二定律進行求解，難度中等．