Question

15．如圖所示，傾角θ=37°、高為h的斜面固定在水平地面上．小球從高為H（h＜H＜$\frac{13}{9}h$）處自由下落，總能與斜面上的特定小裝置做無(wú)能量損失的碰撞后，水平拋出．小球自由下落到斜面上的落點(diǎn)距斜面左側(cè)的水平距離x滿足一定條件時(shí)，小球能直接落到水平地面．已知cos37°=$\frac{4}{5}$，sin37°=$\frac{3}{5}$，忽略空氣阻力．
（1）求小球落到水平地面時(shí)的速度大�。�
（2）要使小球做平拋運(yùn)動(dòng)后能直接落到水平地面，求x應(yīng)滿足的條件．
（3）在滿足（2）的條件下，求小球運(yùn)動(dòng)最長(zhǎng)時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）由于小球與斜面碰撞無(wú)能量損失，自由下落和平拋運(yùn)動(dòng)機(jī)械能也守恒，所以小球整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒，據(jù)此列式求解小球落到地面上的速度大小；
（2）小球與斜面碰撞后做平拋運(yùn)動(dòng)，當(dāng)正好落在斜面底端時(shí)，x最小，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式結(jié)合幾何關(guān)系、動(dòng)能定理求出x的最小值，而x的最大值即為h，從而求出x的范圍；
（3）根據(jù)豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列出總時(shí)間的表達(dá)式，再由數(shù)學(xué)知識(shí)求解最長(zhǎng)的時(shí)間．

解答 解：（1）設(shè)小球落到水平地面時(shí)的速度為v，由機(jī)械能守恒得，
mgH=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
解得v=$\sqrt{2gH}$．
（2）小球自由下落的落點(diǎn)距斜面左側(cè)的水平距離x時(shí)，設(shè)小球做自由落體運(yùn)動(dòng)的末速度為v₀，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得，
${{v}_{0}}^{2}=2g（H-h+\frac{3}{4}x）$，
設(shè)小球做平拋運(yùn)動(dòng)落到水平地面所用的時(shí)間為t，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得，
$h-\frac{3}{4}x=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
s=v₀t，
聯(lián)立解得s=$2\sqrt{（H-h+\frac{3}{4}x）（h-\frac{3}{4}x）}$．
由題意得，使小球做平拋運(yùn)動(dòng)后能直接落到水平地面，應(yīng)有：
s$＞\frac{4}{3}h-x$，
解得$\frac{4}{3}h＞x＞（\frac{4}{3}h-\frac{12}{13}H）$．
（3）小球自由下落的落點(diǎn)距斜面左側(cè)的水平距離x時(shí)，設(shè)小球做自由落體所用時(shí)間為t₀，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得，
$（H-h+\frac{3}{4}x）=\frac{1}{2}g{{t}_{0}}^{2}$．
設(shè)小球由釋放到落到水平地面運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t_總，則
t_總=t₀+t，
解得${t}_{總}(cāng)=\sqrt{\frac{2（H-h+\frac{3}{4}x）}{g}}+\sqrt{\frac{2（h-\frac{3}{4}x）}{g}}$，
整理得，${{t}_{總}(cāng)}^{2}=\frac{2H}{g}+\frac{4\sqrt{（H-h+\frac{3}{4}x）（h-\frac{3}{4}x）}}{g}$，
由上式可知，當(dāng)H-h+$\frac{3}{4}x$=h-$\frac{3}{4}x$，即x=$\frac{2}{3}（2h-H）$時(shí)，小球運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，設(shè)為t_m，
則${t}_{m}=2\sqrt{\frac{H}{g}}$．
答：（1）小球落到水平地面時(shí)的速度大小為$\sqrt{2gh}$．
（2）x應(yīng)滿足的條件為$\frac{4}{3}h＞x＞（\frac{4}{3}h-\frac{12}{13}H）$．
（3）小球運(yùn)動(dòng)最長(zhǎng)時(shí)間為$2\sqrt{\frac{H}{g}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是機(jī)械能守恒與自由落體運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)的綜合，既要把握每個(gè)過(guò)程的物理規(guī)律，更要抓住它們之間的聯(lián)系，比如幾何關(guān)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)上函數(shù)法求解極值．