13.(12分) 萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)是17世紀最偉大的物理成就之一。牛頓通過下述兩個步驟完成了萬有引力定律的數(shù)學推導。

(1)在前人研究的基礎(chǔ)上,牛頓證明了“行星和太陽之間的引力跟行星的質(zhì)量成正比,跟行星到太陽之間的距離的二次方成反比”。

(2)據(jù)牛頓第三定律,牛頓提出:“既然這個引力與行星的質(zhì)量成正比,當然也應該和太陽的質(zhì)量成正比”。

請你根據(jù)上述推導思路,完成萬有引力定律數(shù)學表達式的推導。(注意:要說明各個字母的含義及推導依據(jù))

解: 設(shè)行星繞太陽做勻速圓周運動,太陽對行星引力F提供行星做圓周運動的向心力,即  F=mv2/r

式中r是太陽和行星間的距離,v是行星運動的線速度,m是行星的質(zhì)量。

設(shè)行星運動周期為T,則有  v=2πr/T

代入上式得 

由開普勒定律知   r3/T2是個常數(shù),

所以引力F和行星質(zhì)量m成正比,和行星到太陽的距離的二次方成反比

根據(jù)牛頓第三定律知引力F也和太陽的質(zhì)量成正比。

設(shè)太陽的質(zhì)量為M,則有F∝

寫成等式就是  F=,G是常量

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