Question

5．如圖所示，第二象限，半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi)存在方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁場邊界恰好與兩坐標(biāo)軸相切．x軸上切點(diǎn)A處有一粒子源，能個(gè)向x軸上方發(fā)射速率相等，均為v，質(zhì)量為m，電量為+q的粒子，粒子重力不計(jì)．圓形區(qū)域磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁=$\frac{mv}{qr}$，y軸右側(cè)0＜y＜r的范圍內(nèi)存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場，已知某粒子從A處沿+y方向射入磁場后，再進(jìn)入勻強(qiáng)電場，發(fā)現(xiàn)粒子從電場右邊界MN射出，速度方向與x軸正方向成45°角斜向下，求：
（1）勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度大小；
（2）若在MN右側(cè)某區(qū)域存在另一圓形勻強(qiáng)磁場B₂，發(fā)現(xiàn)A處粒子源發(fā)射的所有粒子經(jīng)磁場B₁、電場E射出后均能進(jìn)入B₂區(qū)域，之后全部能夠經(jīng)過x軸上的P點(diǎn)，求圓形勻強(qiáng)磁場B₂的最小半徑；
（3）繼第二問，若圓形勻強(qiáng)磁場B₂取最小半徑，試求A處沿+y方向射入B₁磁場的粒子，自A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到x軸上的P點(diǎn)所用的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和分位移公式、分速度公式列式求解E．
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得到軌跡半徑．由幾何關(guān)系定出粒子束的寬度，從而求出圓形勻強(qiáng)磁場B₂的最小半徑．
（3）根據(jù)弧長與線速度大小之比求粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間．由分運(yùn)動(dòng)的位移公式求電場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間．得到粒子在無場區(qū)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，由勻速運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出時(shí)間，從而得到總時(shí)間．

解答 解：（1）在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，由qE=ma，得 a=$\frac{qE}{m}$
由類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律有：
  x=vt=r
  v_y=at=$\frac{qE}{m}$•$\frac{r}{v}$=$\frac{qEr}{mv}$
粒子從電場右邊界MN射出，速度方向與x軸正方向成45°斜向下，則 v_y=v；
聯(lián)立得 E=$\frac{m{v}^{2}}{qr}$
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得
  qVB₁=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，B₁=$\frac{mv}{qr}$，得 R=r
因?yàn)榇艌霭霃脚c軌跡半徑相同，所以粒子離開磁場后的速度方向均沿+x方向
又所有粒子穿出勻強(qiáng)電場后速度縱向偏移量 y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=$\frac{1}{2}r$，均相等
設(shè)粒子從MN射出的最高點(diǎn)為E，最低點(diǎn)為F，則EF=2r
所以粒子束的寬度 d=$\sqrt{2}$r
圓形勻強(qiáng)磁場B₂的最小半徑 r_B2=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r
（3）粒子在磁場B₁中運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t₁=$\frac{l}{v}$=$\frac{πr}{2v}$
粒子在勻強(qiáng)電場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t₂=$\frac{r}{v}$
粒子在無場運(yùn)動(dòng)速度 v′=$\sqrt{2}$v
粒子在無場運(yùn)動(dòng)的距離 x₃=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r
粒子在無場運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 t₃=$\frac{{x}_{3}}{v′}$=$\frac{r}{2v}$
粒子在磁場B₂中運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t₄=$\frac{πr}{4v}$
故粒子自A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到x軸上的P點(diǎn)的總時(shí)間 t=t₁+t₂+t₃+t₄=$\frac{3r}{2v}$+$\frac{3πr}{4v}$
答：
（1）勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度大小是$\frac{m{v}^{2}}{qr}$；
（2）圓形勻強(qiáng)磁場B₂的最小半徑為$\frac{\sqrt{2}}{2}$r；
（3）粒子自A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到x軸上的P點(diǎn)的總時(shí)間為$\frac{3r}{2v}$+$\frac{3πr}{4v}$．

點(diǎn)評 考查粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在電場力作用下做類平拋運(yùn)動(dòng)，掌握兩種運(yùn)動(dòng)的處理規(guī)律，學(xué)會(huì)運(yùn)動(dòng)的分解與幾何關(guān)系的應(yīng)用．