Question

10．宇航員站在某質(zhì)量分布均勻的星球表面一斜坡上P點(diǎn)，沿水平方向以初速度v₀拋出一個(gè)小球，測(cè)得小球經(jīng)時(shí)間t落到斜坡另一點(diǎn)Q上，斜坡的傾角α，已知該星球的半徑為R，引力常量為G，已知球的體積公式是V=$\frac{4}{3}$πR³．求：
（1）該星球表面的重力加速度g； 
（2）該星球的第一宇宙速度；
（3）該星球的密度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，抓住水平位移和豎直位移的關(guān)系求出星球表面的重力加速度．
（2）該星球的第一宇宙速度等于它的近地衛(wèi)星的運(yùn)行速度，根據(jù)萬有引力提供向心力，結(jié)合黃金代換式求出該星球的第一宇宙速度．
（3）根據(jù)萬有引力等于重力求出星球的質(zhì)量，結(jié)合星球的體積求出星球的密度．

解答 解：（1）小球在斜坡上做平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)：
水平方向上：x=v₀t…①
豎直方向上：y=$\frac{1}{2}$gt²…②
由幾何知識(shí)tanα=$\frac{y}{x}$…③
由①②③式得：g=$\frac{{2{v_0}tanα}}{t}$．
（2）該星球的第一宇宙速度等于它的近地衛(wèi)星的運(yùn)行速度，故有：
$G\frac{Mm}{R^2}=m\frac{v^2}{R}$
又GM=gR²　  
解得v=$\sqrt{\frac{{2{v_0}Rtanα}}{t}}$．
（3）對(duì)于星球表面的物體m₀，有$G\frac{{M{m_0}}}{R^2}={m_0}g$
又V=$\frac{4}{3}$πR³　  
解得：ρ=$\frac{M}{V}=\frac{{3{v_0}tanα}}{2πRtG}$．
答：（1）該星球表面的重力加速度g為$\frac{{2{v_0}tanα}}{t}$；
（2）該星球的第一宇宙速度為$\sqrt{\frac{{2{v_0}Rtanα}}{t}}$；
（3）該星球的密度為$\frac{{3{v_0}tanα}}{2πRtG}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平拋運(yùn)動(dòng)與萬有引力定律的綜合運(yùn)用，掌握萬有引力定律的兩個(gè)重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運(yùn)用．