Question

       雨滴在穿過云層的過程中，不斷與漂浮在云層中的小水珠相遇并結(jié)合為一體，其質(zhì)量逐漸增大。現(xiàn)將上述過程簡(jiǎn)化為沿豎直方向的一系列碰撞。已知雨滴的初始質(zhì)量為m₀，初速度為v₀，下降距離l后與靜止的小水珠碰撞且合并，質(zhì)量變?yōu)?i>m₁。此后每經(jīng)過同樣的距離l后，雨滴均與靜止的小水珠碰撞且合并，質(zhì)量依次變?yōu)?i>m₂、m₃……m_n……（設(shè)各質(zhì)量為已知量）。不計(jì)空氣阻力。

       （1）若不計(jì)重力，求第n次碰撞后雨滴的速度v_n′；

       （2）若考慮重力的影響，

              a.求第1次碰撞前、后雨滴的速度v₁和v₁′；

              b.求第n次碰撞后雨滴的動(dòng)能 v_n′²；

Answer 1

（20分）

（1）                   

（2）若考慮重力的影響，雨滴下降過程中做加速度為g的勻加速運(yùn)動(dòng)，碰撞瞬間動(dòng)量守恒

a.                                

b．   

解析:

（20分）

本題考查多個(gè)過程中應(yīng)用動(dòng)量守恒定律、應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法分析解決問題。

（1）不計(jì)重力，全過程中動(dòng)量守恒，

得                         

（2）若考慮重力的影響，雨滴下降過程中做加速度為g的勻加速運(yùn)動(dòng)，碰撞瞬間動(dòng)量守恒

a．第一次碰撞前            

第一次碰撞后            

                                ①

b．第2次碰撞前        

利用①式化簡(jiǎn)得               ②

第2次碰撞后，利用②式得

                        

同理，第3次碰撞后     

                          ·················

第n次碰撞后          

動(dòng)能