Question

如圖所示，質(zhì)量為m=0.4 kg的滑塊，在水平外力F作用下，在光滑水平面上從A點(diǎn)由靜止開(kāi)始向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，到達(dá)B點(diǎn)時(shí)外力F突然撤去，滑塊隨即沖上半徑R=0.4 m的1/4光滑圓弧面小車，小車立即沿光滑水平面PQ運(yùn)動(dòng)。設(shè)：開(kāi)始時(shí)平面AB與圓弧CD相切，A、B、C三點(diǎn)在同一水平線上，令A(yù)B連線為X軸，且AB=d=0.64 m，滑塊在AB面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，其動(dòng)量隨位移的變化關(guān)系為P=1.6X kg m/s。小車質(zhì)量M=3.6 kg，不計(jì)能量損失。求：

（1）滑塊受水平推力F為多大?

（2）滑塊通過(guò)C點(diǎn)時(shí)，圓弧C點(diǎn)受到壓力為多大?

（3）滑塊到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，小車速度為多大?

（4）滑塊能否第二次通過(guò)C點(diǎn)?若滑塊第二次通過(guò)C點(diǎn)時(shí)，小車與滑塊的速度分別為多大?

（5）滑塊從D點(diǎn)滑出再返回D點(diǎn)這一過(guò)程中，小車移動(dòng)距離為多少?（g取10 m/s²）

Answer 1

（1）由P=1.6=mv，代入x=0.64 m，可得滑塊到B點(diǎn)速度為：

V_B=1.6/m=1.6=3.2 m/s

A→B，由動(dòng)能定理得：FS=Mv_B²

所以F=Mv_B²/（2S）=0.4×3.2²/（2×0.64）N=3.2 N

（2）滑塊滑上C立即做圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得：N-mg=mV_c²/R，而V_c=V_b，則N=mg+mV_c²/R=14.2 N

（3）滑塊由C→D的過(guò)程中，滑塊和小車組成系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒，由于滑塊始終緊貼著小車一起運(yùn)動(dòng)，在D點(diǎn)時(shí)，滑塊和小車具有相同的水平速度V_DX。由動(dòng)量守恒定律得：mV_C=（M+m）V_DX

所以V_DX=mV_C/（M+m）=m/s=0.32 m/s

（4）滑塊一定能再次通過(guò)C點(diǎn)。因?yàn)榛瑝K到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，除與小車有相同的水平速度V_DX外，還具有豎直向上的分速度V_DY，因此滑塊以后將脫離小車相對(duì)于小車做豎直上拋運(yùn)動(dòng)（相對(duì)地面做斜上拋運(yùn)動(dòng)）。因題中說(shuō)明無(wú)能量損失，可知滑塊在離車后一段時(shí)間內(nèi)，始終處于D點(diǎn)的正上方（因兩者在水平方向不受力作用，水平方向分運(yùn)動(dòng)為勻速運(yùn)動(dòng)，具有相同水平速度），所以滑塊返回時(shí)必重新落在小車的D點(diǎn)上，然后再圓孤下滑，最后由C點(diǎn)離開(kāi)小車，做平拋運(yùn)動(dòng)落到地面上。由機(jī)械能守恒定律得：

mV_C²=mgR+（M+m）V_DX²+mV_DY²

所以V_DY=m/s=1.1 m/s

以滑塊、小車為系統(tǒng)，以滑塊滑上C點(diǎn)為初態(tài)，滑塊第二次滑到C點(diǎn)時(shí)為末態(tài)，此過(guò)程中系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，系統(tǒng)機(jī)械能守恒（注意：對(duì)滑塊來(lái)說(shuō)，此過(guò)程中彈力與速度不垂直，彈力做功，機(jī)械能不守恒）得：mV_C=mV_C′+MV，即mV²_C=mV′²_C+MV²

上式中V_C′、V分別為滑塊返回C點(diǎn)時(shí)滑塊與小車的速度，V=2mV_C/（M+m）=2×0.4×3.2/（3.6+0.4）m/s=0.64 m/s

V_C′=（m-M）V_C/（m+M）=（0.4-3.6）×3.2/（0.4+3.6）m/s=-2.56 m/s（與V反向）

（5）滑塊離D到返回D這一過(guò)程中，小車做勻速直線運(yùn)動(dòng)，前進(jìn)距離為：

ΔS==0.32×2×1.1/10 m≈0.07 m