Question

7．如圖所示，一質(zhì)量不計(jì)的細(xì)線繞過無摩擦的輕質(zhì)小定滑輪O與質(zhì)量為5m的重物相連，另一端與套在一根固定的光滑的豎直桿上質(zhì)量為m的圓環(huán)相連，直桿上有A、B、C三點(diǎn)，且B為A、C的中點(diǎn)，AO與豎直桿的夾角θ=53°，B點(diǎn)與滑輪O在同一水平高度，滑輪與豎直桿相距為L，重力加速度為g，設(shè)直桿足夠長，圓環(huán)和重物運(yùn)動(dòng)過程中不會(huì)與其他物體相碰．現(xiàn)將圓環(huán)由A點(diǎn)靜止開始釋放（已知sin53°=0.8，cos53°=0.6），試求：
（1）重物下降到最低點(diǎn)時(shí)圓環(huán)的速度大��；
（2）圓環(huán)能下滑的最大距離．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)圓環(huán)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，重物下降到最低點(diǎn)位置，此時(shí)重物速度為零．取環(huán)與重物作為系統(tǒng)，由于只有重力做功，所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律可解出圓環(huán)的速度大�。�
（2）當(dāng)圓環(huán)下滑到最大距離時(shí)，圓環(huán)與重物的速度均為零，再由機(jī)械能守恒定律，結(jié)合幾何關(guān)系可求出圓環(huán)下滑的最大距離．

解答 解：（1）圓環(huán)到B點(diǎn)時(shí)，重物下降到最低點(diǎn)，此時(shí)重物速度為零．
根據(jù)幾何關(guān)系可知：圓環(huán)下降高度為 h_AB=$\frac{3}{4}$L
重物下降的高度為△h=$\frac{5}{4}$L-L=$\frac{1}{4}$L
系統(tǒng)只有重力做功，所以系統(tǒng)機(jī)械能守恒，則有：mgh_AB+5mg△h=$\frac{1}{2}$mv₁²
由上可解得：圓環(huán)的速度為 v₁=2$\sqrt{gL}$
（2）圓環(huán)能下滑最大距離H時(shí)，圓環(huán)和重物速度均為零．
由幾何關(guān)系可得：重物上升的高度△H=$\sqrt{（H-\frac{3}{4}L）^{2}}$-$\frac{5}{4}$L
由于系統(tǒng)只有重力做功，所以系統(tǒng)機(jī)械能守恒
則有：mgH=5mg△H   
解得：H=$\frac{25}{12}$L
答：（1）重物下降到最低點(diǎn)時(shí)圓環(huán)的速度大小是2$\sqrt{gL}$；
（2）圓環(huán)能下滑的最大距離是$\frac{25}{12}$L．

點(diǎn)評(píng) 本題多次運(yùn)用幾何關(guān)系及機(jī)械能守恒定律，定律的表達(dá)式除題中變化的動(dòng)能等于變化的重力勢能外，還可以寫成圓環(huán)的變化的機(jī)械能等于重物的變化的機(jī)械能．同時(shí)關(guān)注題中隱含條件的挖掘：重物下降到最低點(diǎn)的同時(shí)其速度等于零．