Question

2．已知萬有引力常量G，地球半徑R，月球中心與地球中心間的距離為r，同步衛(wèi)星距離地面的高度為h，月球繞地球運轉周期為T₁，地球自轉周期為T₂，地球表面的重力加速度為g．某同學根據以上條件，提出一種估算地球質量的方法：
同步衛(wèi)星繞地球做圓周運動，由$G\frac{Mm}{h^2}=m{（\frac{2π}{T_2}）^2}h$得$M=\frac{{4{π^2}{h^3}}}{GT_2^2}$．
（1）請判斷上面的結果是否正確，并說明理由．
（2）根據題目給定的已知條件，提出兩種估算地球質量的方法，并計算出最后結果．

Answer 1

分析 （1）根據萬有引力提供向心力，列式求解，地球半徑較大，不能忽略；
（2）對月球或地球應用萬有引力提供向心力，也可根據在地球表面重力等于向心力求解．

解答 解：
（1）上面結果是錯誤的，地球的半徑R在計算過程中不能忽略，
不正確，因為同步衛(wèi)星的軌道半徑是h+R，不是h．
（2）解法一：
對同步衛(wèi)星，設同步衛(wèi)星的質量是m，則：$\frac{GMm}{{{{（R+h）}^2}}}=m（R+h）{（\frac{2π}{T_2}）^2}$
解得：$M=\frac{{4{π^2}{{（R+h）}^3}}}{GT_2^2}$
解法二：
對地面上質量為m的物體$\frac{GMm}{R^2}=mg$
解得：$M=\frac{{g{R^2}}}{G}$
解法三：對月球，設月球的質量為m，則：$\frac{GMm}{r^2}=mr{（\frac{2π}{T_1}）^2}$
解得：$M=\frac{{4{π^2}{r^3}}}{GT_1^2}$
答：（1）上面的結果不正確，因為同步衛(wèi)星的軌道半徑是h+R，不是h．
（2）根據題目給定的已知條件，估算地球質量的方法如上所示．

點評 本題關鍵抓住萬有引力提供向心力和在地球表面重力等于萬有引力這兩個關系，并能根據題意選擇恰當的向心力的表達式．