Question

8．如圖所示，穿過光滑水平平面中央小孔O的細(xì)線與平面上質(zhì)量為m的小球P相連，手拉細(xì)線的另一端，讓小球在水平面內(nèi)以角速度ω₁沿半徑為a的圓周做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．所有摩擦均不考慮． 求：
（1）這時(shí)細(xì)線上的拉力多大？
（2）若突然松開手中的細(xì)線，經(jīng)時(shí)間△t再握緊細(xì)線，隨后小球沿半徑為b的圓周做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．試問：△t等于多大？這時(shí)的角速度ω₂為多．

Answer 1

分析 由題意可知，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力是由細(xì)線的拉力提供的．則可求出細(xì)線上的張力大��；當(dāng)突然松開手時(shí)，小球沿切線方向勻速飛出．當(dāng)再次握住時(shí)，小球又做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．由半徑a與ω₁可求出飛出之前的速度．再由半徑b，結(jié)合運(yùn)動(dòng)的分解可求出小球以半徑b做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度．從而可求出此時(shí)的角速度．由于是勻速飛出，所以利用直角三角形，由長度a、b可求出時(shí)間．

解答 解：（1）細(xì)線上的拉力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律得：$F=ma{{ω}_{1}}^{2}$
（2）松開手后小球作勻速直線運(yùn)動(dòng)：v=aω₁
時(shí)間$△t=\frac{s}{v}=\frac{\sqrt{^{2}-{a}^{2}}}{a{ω}_{1}}$
小球再次作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，線使分速度v₁消失，小球的速度為v₂：
根據(jù)幾何關(guān)系得：$sinθ=\frac{a}$
v₂=bω₂=vsinθ
解得：
${ω}_{2}=\frac{{a}^{2}}{^{2}}{ω}_{1}$
答：（1）這時(shí)細(xì)線上的拉力為$ma{{ω}_{1}}^{2}$；
（2）△t等于$\frac{\sqrt{^{2}-{a}^{2}}}{a{ω}_{1}}$，這時(shí)的角速度ω₂為$\frac{{a}^{2}}{^{2}}{ω}_{1}$．

點(diǎn)評(píng) 搞清小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力來源，同時(shí)本題巧妙運(yùn)用三角函數(shù)求出松手前后的線速度關(guān)系．值得注意是松手后小球做的是勻速直線運(yùn)動(dòng)．