Question

兩慣性系S′與S初始時(shí)刻完全重合，前者相對后者沿x軸正向以速度v高速運(yùn)動．作為光源的自由質(zhì)點(diǎn)靜止于S′系中，以恒定功率P四周輻射（各向同性）光子．在S中觀察，輻射偏向于光源前部（即所謂的前燈效應(yīng)）．
（1）在S中觀察，S′中向前的那一半輻射將集中于光源前部以x軸為軸線的圓錐內(nèi)．求該圓錐的半頂角α．已知相對論速度變換關(guān)系為ux=

ux′+v

1+ux′v/c2

，式中u_x與u_x′分別為S，S′系中測得的速度x分量，c為光速．
（2）求S系中測得的單位時(shí)間內(nèi)光源輻射的全部光子的總動量與總能量．

Answer 1

分析：（1）先求兩慣性系中光子速度方向的變換關(guān)系．再利用相對論速度變換關(guān)系得出該圓錐的半頂角α；
（2）S′系中，質(zhì)點(diǎn)靜止，在△t′時(shí)間內(nèi)輻射光子的能量來自質(zhì)點(diǎn)靜能的減少，S系中，質(zhì)點(diǎn)以速度v勻速運(yùn)動，由于輻射，其動質(zhì)量減少△m，故動量與能量亦減少．轉(zhuǎn)化為光子的總動量為△P=△mv，轉(zhuǎn)化為光子的總能量為△E=△mc²．

解答：解：（1）先求兩慣性系中光子速度方向的變換關(guān)系．根據(jù)光速不變原理，兩系中光速的大小都是c．以θ和θ′分別表示光子速度方向在S和S′系中與x和x′軸的夾角，則光速的x分量為
u_x=c?cosθ
u′_x=c?cosθ′，
再利用相對論速度變換關(guān)系，得
cosθ=

cosθ′+ v c

1+ v?cosθ′ c

．
S′系中光源各向同性輻射，表明有一半輻射分布于0≤θ′≤

π

2

的方向角范圍內(nèi)，S系中，此范圍對應(yīng)0≤θ≤α．由上式求得
α=arccos

cos π 2 + v c

1+ v c cos π 2

=arccos

v

c

．
可以看出，光源的速度v越大，圓錐的頂角越�。�
（2）S′系中，質(zhì)點(diǎn)靜止，在△t′時(shí)間內(nèi)輻射光子的能量來自質(zhì)點(diǎn)靜能的減少，即：P△t′=△m0c2，
式中△m₀為△t′時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)減少的質(zhì)量．
S系中，質(zhì)點(diǎn)以速度v勻速運(yùn)動，由于輻射，其動質(zhì)量減少△m，故動量與能量亦減少．轉(zhuǎn)化為光子的總動量為△P=△mv，即△P=

△m0v

1- v2 c2

；
轉(zhuǎn)化為光子的總能量為△E=△mc²，即
△E=

△m0c2

1- v2 c2

．
S′系中光源靜止，測得的輻射時(shí)間△t′為本征時(shí)，在S系中膨脹為
△t=

△t′

1- v2 c2

，
由以上各式可得在S系中單位時(shí)間內(nèi)輻射的全部光子的總動量與總能量分c別為

△P

△t

=

vP

c2

，

△E

△t

=p．
答：（1）在S中觀察，S′中向前的那一半輻射將集中于光源前部以x軸為軸線的圓錐內(nèi)．該圓錐的半頂角α=arccos

v

c

．已知相對論速度變換關(guān)系為ux=

ux′+v

1+ux′v/c2

，式中u_x與u_x′分別為S，S′系中測得的速度x分量，c為光速．
（2）求S系中測得的單位時(shí)間內(nèi)光源輻射的全部光子的總動量

vP

c2

，總能量P．

點(diǎn)評：該題為2009年第26屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽試題第六題，考查愛因斯坦相對性原理和光速不變原理以及洛倫茲變換，對知識的要求和能力的要求都高，屬于難度特別大的題目．