Question

14．如圖所示，真空室內(nèi)豎直條形區(qū)域Ⅰ內(nèi)存在豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，條形區(qū)域Ⅱ內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)和電場(chǎng)寬度均為L(zhǎng)且足夠長(zhǎng)，MN為涂有熒光物質(zhì)的豎直板．現(xiàn)有質(zhì)量均為m，電量大小均為q的正、負(fù)兩種帶電粒子，負(fù)粒子從A點(diǎn)、正粒子從B點(diǎn)以相同速度v同時(shí)在紙面內(nèi)以垂直電場(chǎng)線方向射入電場(chǎng)，A、B兩點(diǎn)間距離為$\frac{L}{2}$，已知粒子到達(dá)Ⅰ、Ⅱ區(qū)域分界面ab上時(shí)相距為$\frac{3}{2}$L，粒子射出磁場(chǎng)垂直打到熒光屏上，觀察到兩個(gè)亮斑，（不計(jì)兩粒子間的相互作用）求：
（1）熒光屏上兩亮斑間的距離；
（2）粒子從射入電場(chǎng)到打到熒光屏上的時(shí)間；
（3）改變磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度使粒子在磁場(chǎng)中發(fā)生碰撞，求磁感應(yīng)強(qiáng)度滿足的條件．

Answer 1

分析 正負(fù)粒子進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)分別向下、上做類平拋運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場(chǎng)后又做逆時(shí)針、順時(shí)針?lè)较虻膭蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，最后垂直打在熒光屏MN上．
（1）在電場(chǎng)中先根據(jù)水平位移求出沿豎起位移及末速度方向和大小，進(jìn)入磁場(chǎng)后由半徑公式和幾何關(guān)系求出偏出入點(diǎn)的距離．
（2）根據(jù)粒子沿電場(chǎng)方向的位移，求出電場(chǎng)中的時(shí)間，根據(jù)粒子在磁場(chǎng)中的集團(tuán)角度求出在磁場(chǎng)中的時(shí)間，兩個(gè)過(guò)程的時(shí)間相加，就是總時(shí)間．
（3）當(dāng)B較大時(shí)，半徑較小，由對(duì)稱性，B最大時(shí)在ab線上相碰，同理，B最小時(shí)，在MN上相碰．由幾何關(guān)系，可以找到B的關(guān)系

解答 解：（1）由題意，粒子沿電場(chǎng)方向上的位移：$y=\frac{3}{4}L-\frac{1}{4}L=\frac{L}{2}$
而水平位移：x=L
所以速度與水平方向的夾角θ 和位移方向與水平方向夾角α 滿足：$tanθ=2tanα=2×\frac{y}{x}=1$ 
所以進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度方向與水平方向成45°
由幾何關(guān)系：粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑：$r=\frac{L}{cos45°}=\sqrt{2}L$
由對(duì)稱關(guān)系可得：兩亮點(diǎn)間的距離$△y=2y+2（r-rcos45°）+\frac{L}{2}=（2\sqrt{2}-1）L$
（2）粒子進(jìn)入電場(chǎng)的初速度為v，則粒子在電場(chǎng)中的時(shí)間為
${t}_{1}=\frac{L}{v}$  
進(jìn)入磁場(chǎng)后粒子的速度為$\sqrt{2}v$，在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)45°的時(shí)間為
${t}_{2}=\frac{1}{8}T=\frac{1}{8}×\frac{2πr}{\sqrt{2}v}=\frac{πL}{4v}$
所以總時(shí)間：$t={t}_{1}+{t}_{2}=\frac{4L+πL}{4v}$
（3）改變B的大小，使粒子相碰，則最小半徑r₁，應(yīng)滿足粒子的軌跡與ab的中垂線相切，由幾何關(guān)系：
${r}_{1}+{r}_{1}cos45=\frac{3}{4}L+\frac{1}{4}L$
而   $q\sqrt{2}v{B}_{max}=\frac{m（\sqrt{2}v）^{2}}{{r}_{1}}$
所以：${B}_{1}=\frac{2-\sqrt{2}}{qv}L$
同理：改變B的大小，使粒子相碰，則最大半徑r₂ 應(yīng)滿足粒子的軌跡與MN相切，由幾何關(guān)系：
r₂+r₂cos45°=L
而 $q\sqrt{2}vB=\frac{m（\sqrt{2}v）^{2}}{{r}_{2}}$
所以：${B}_{2}=\frac{2-\sqrt{2}}{qv}L$
由于B₁=B₂，表示粒子相碰的位置只在ab中垂線上的某點(diǎn)，同時(shí)粒子軌跡與MN相切．
答：（1）熒光屏上兩亮斑間的距離$△y=2y+2（r-rcos45°）+\frac{L}{2}=（2\sqrt{2}-1）L$．
（2）粒子從射入電場(chǎng)到打到熒光屏上的時(shí)間$t={t}_{1}+{t}_{2}=\frac{4L+πL}{4v}$．
（3）改變磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度使粒子在磁場(chǎng)中發(fā)生碰撞，磁感應(yīng)強(qiáng)度滿足的條件$B=\frac{2-\sqrt{2}}{qv}L$．

點(diǎn)評(píng) 此題考察了類平拋運(yùn)動(dòng)的一種特例，即末速度與水平方向成45°情況（豎直位移是水平位移的$\frac{1}{2}$），這個(gè)結(jié)論是考試熱點(diǎn)，可以記住．本題的難點(diǎn)在于第③問(wèn)，由正負(fù)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的對(duì)稱性，要相碰的半徑與B大小有關(guān)系．注意B越大r越小，則可能各自從左邊界穿出；B越小r越大，則可能直接打在MN上．要考慮兩種情況的臨界狀態(tài)進(jìn)行考慮．