Question

南極冰架崩裂形成一座巨型冰山，隨洋流漂近一個(gè)城市。有人設(shè)計(jì)了一個(gè)利用這座冰山來(lái)發(fā)電的方案，具體過(guò)程為：先將環(huán)境中一定量的空氣裝入體積可變的容器，在保持壓強(qiáng)不變的條件下通過(guò)與冰山接觸容器內(nèi)空氣溫度降至冰山溫度；使容器脫離冰山，保持其體積不變，讓容器中的冰空氣從環(huán)境中吸收熱量，使其溫度升至環(huán)境溫度；在保持容器體積不變的情況下讓空氣從容器中噴出，帶動(dòng)發(fā)電裝置發(fā)電。如此重復(fù)，直至整座冰山融化。已知環(huán)境溫度，冰山的溫度為冰的熔點(diǎn)，可利用的冰山的質(zhì)量，為了估算可能獲得的電能，設(shè)計(jì)者做出的假設(shè)和利用的數(shù)據(jù)如下：

1．空氣可視為理想氣體。

2．冰的熔解熱；冰融化成溫度為的水之后即不再利用。

3．壓強(qiáng)為、體積為的空氣內(nèi)能。

4．容器與環(huán)境之間的熱傳導(dǎo)良好，可以保證噴氣過(guò)程中容器中空氣溫度不變。

5．噴氣過(guò)程可分解為一連串小過(guò)程，每次噴出的氣體的體積都是，且遠(yuǎn)小于容器的體積。在每個(gè)小過(guò)程中，噴管中的氣體在內(nèi)外壓強(qiáng)差的作用下加速，從而獲得一定動(dòng)能，從噴嘴噴出。不考慮噴出氣體在加速過(guò)程中體積的改變，并認(rèn)為在噴氣過(guò)程中容器內(nèi)的氣體壓強(qiáng)仍是均勻的，外壓強(qiáng)的大氣壓。

6．假設(shè)可能獲得的電能是總和的

7．當(dāng)時(shí)，。

試根據(jù)設(shè)計(jì)者的假設(shè)，計(jì)算利用這座冰山可以獲得的電能。

Answer 1

以表示環(huán)境中大氣的壓強(qiáng)，則初始時(shí)裝入容器的空氣的壓強(qiáng)為，溫度為，以表示其體積。當(dāng)容器與冰山接觸，達(dá)到平衡時(shí)，容器中空氣的溫度為，體積減小為，根據(jù)題意，空氣經(jīng)歷的過(guò)程為等壓過(guò)程，故有

                                                                                                           （1）

在這一過(guò)程中，容器中空氣內(nèi)能的增加量為

，                                                                                     （2）

大氣所考察空氣做功為

                                                                                             （3）

若以表示此過(guò)程中冰山傳給容器中空氣的熱量，根據(jù)熱力第一定律有

。                                                                                                 （4）

由以上四式得

                                                                                       （5）

（5）式給出的是負(fù)的，表示在這一過(guò)程中，實(shí)際上是容器中的空氣把熱量傳給冰山。

容器中空氣的溫度降至冰山溫度后，又經(jīng)一過(guò)等容升溫過(guò)程，即保持體積不變，溫度從升至環(huán)境溫度，并從周?chē)�環(huán)境吸熱。若以表示所考慮空氣的壓強(qiáng)，則有

                                                                                                          （6）

設(shè)噴管的體積為，當(dāng)噴管中的氣體第一次被噴出時(shí)，容器中空氣的壓強(qiáng)由降到；根據(jù)題目給出的條件，有

，                                                                                          （7）

即                                                                                               （8）

噴出氣體獲得的動(dòng)能

。                                                                                         （9）

當(dāng)噴管中的空氣第二次噴出后，容器中空氣壓強(qiáng)由降到，根據(jù)題給出的條件可得

                                                                                                  （10）

噴出氣體獲得的動(dòng)能

。                                                                                         （11）

當(dāng)噴管中的空氣第次被噴出后，容器內(nèi)空氣的壓強(qiáng)由降到，根據(jù)題給出的條件可得

                                                                                              （12）

噴出氣體獲得的動(dòng)能

。                                                                                        （13）

如果經(jīng)過(guò)次噴射后，容器中空氣的壓強(qiáng)降到周?chē)�大氣的壓�?qiáng)，即

，                                                                                                     （14）

這時(shí)噴氣過(guò)程終止，在整過(guò)噴氣過(guò)程中，噴出氣體的總動(dòng)能。

                                                                                    （15）

利用（8）到（13）式，（15）式可化成

，                             （16）

（16）式等號(hào)右邊第1項(xiàng)方括號(hào)內(nèi)是項(xiàng)的等比級(jí)數(shù)，故有

。                                                                        （17）

又，根據(jù)（8）、（10）、（12）、（14）各式可得

，                                                                                          （18）

對(duì)（18）式等式兩邊取自然對(duì)數(shù)得

。                                                                                      （19）

因，可利用近似公式把（19）進(jìn)一步化簡(jiǎn)，即

                                                                                                    （20）

進(jìn)而由（17）、（18）、（20）三式得

                                                                            （21）

將（1）、（6）代入（21）式，可得

。                                                                           （22）

根據(jù)題意，這些動(dòng)能可轉(zhuǎn)化成的電能為

。                                                                      （23）

以上討論表明，要獲得電能，冰山必須吸收的熱量，整座冰山化掉可吸收的總熱量

。                                                                                                （24）

因此可產(chǎn)生的總電量為

。                                                                                             （25）

將（5）和（23）帶入（25）式，得

，                                                                     （26）

代入數(shù)據(jù)后有

                                                                                          （27）

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：（5）式3分，（7）式1分，（9）式2分，（17）式2分，（18）式1分，（22）式3分，（25）~（27）式各1分。

參考解答2：

以表示環(huán)境中大氣的壓強(qiáng)。設(shè)融化整座冰山可使摩爾的空氣參與如題所述的過(guò)程，且在過(guò)程中體積和溫度變化分別為和，則在此過(guò)程中這部分氣體放出的熱量為

。                                                                             （1）

其中右邊第一項(xiàng)表示大氣對(duì)系統(tǒng)做的功，第二項(xiàng)表示系統(tǒng)內(nèi)能的變化，考慮到物態(tài)方程，有

，                                                                                   （2）

這部分熱量等于冰山融化吸收的熔解熱，故

，                                                                                                 （3）

因此聯(lián)立（2）、（3）可得

。                                                                                     （4）

在氣體等容吸熱的過(guò)程中，設(shè)最后達(dá)到壓強(qiáng)，體積達(dá)到，則易得

，                                                                                             （5）

                                                                                                （6）

再考慮噴氣過(guò)程：因?yàn)榈葴�，在每個(gè)噴氣的小過(guò)程中過(guò)后，容器內(nèi)的壓強(qiáng)增量滿足

，                                                                                     （7）

其中為過(guò)程中系統(tǒng)的體積，為這個(gè)噴氣過(guò)程中容器內(nèi)的壓強(qiáng)，那么噴出的氣體的動(dòng)能

，                                                                                     （8）

與（7）聯(lián)立，消去，得

。                                                                           （9）

因此，做變換，，總的動(dòng)能則為

                                                                            （10）

最后，據(jù)題意所獲得的總的電能為

，                                                                                            （11）

將（4）、（5）、（6）、（10）帶入（11）式，得

；                                                                     （12）

代入數(shù)據(jù)后有

。                                                                                       （13）

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：參考“參考解答1”的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)。