Question

3．如圖所示光滑管形圓軌道半徑為R（管徑遠(yuǎn)小于R），小球a、b大小相同，質(zhì)量均為m，其直徑略小于管徑，能在管中無(wú)摩擦運(yùn)動(dòng)，兩球先后以相同的速度v通過(guò)軌道最低點(diǎn)，且當(dāng)小球a在最低點(diǎn)時(shí)，小球b在最高點(diǎn)，以下說(shuō)法不正確的是（　�。�

• A． 當(dāng)小球b在最高點(diǎn)對(duì)軌道無(wú)壓力時(shí)，小球a比小球b所需向心力大5mg
• B． 當(dāng)v=$\sqrt{5gR}$時(shí)，小球b在軌道最高點(diǎn)對(duì)軌道無(wú)壓力
• C． 速度v只至少為2$\sqrt{gR}$，才能使兩球在管內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)
• D． 只要v≥$\sqrt{5gR}$，小球a對(duì)軌道最低點(diǎn)的壓力比小球b對(duì)軌道最高點(diǎn)的壓力大6mg

Answer 1

分析 小球在圓環(huán)的內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)，相當(dāng)于圓周運(yùn)動(dòng)中的桿的模型，此時(shí)在最高的速度是可以為零的，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中小球的機(jī)械能守恒，可以求得小球到達(dá)最低端是的速度和需要的向心力的大�。�

解答 解：A、B、C、由于管中沒(méi)有摩擦力的作用，所以球的機(jī)械能守恒，當(dāng)小球b在最高點(diǎn)對(duì)軌道無(wú)壓力，即只有重力做為向心力，
所以mg=m$\frac{{{v}_}^{2}}{R}$，所以在最高點(diǎn)時(shí)b球的速度的大小為$\sqrt{gR}$，
所以C錯(cuò)誤；
從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)，由機(jī)械能守恒可得，mg•2R+$\frac{1}{2}$mv_b²=$\frac{1}{2}$mv²，
對(duì)于a球，在最低點(diǎn)是，由向心力的公式可得 F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
所以：v=$\sqrt{5gR}$
F-mg=5mg，
所以此時(shí)的向心力的大小為5mg，
所以小球a比小球b所需向心力大4mg，故A錯(cuò)誤，B正確，C錯(cuò)誤；
D、最高點(diǎn)時(shí)F₁=m$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$-mg，
在最低點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)₂=m$\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}$+mg，
由機(jī)械能守恒有$\frac{1}{2}$mv₁²+mg2R=$\frac{1}{2}$mv₁²，
所以F₂-F₁=6mg．所以只要v≥$\sqrt{5gR}$，小球a對(duì)軌道最低點(diǎn)的壓力比小球b對(duì)軌道最高點(diǎn)的壓力大6mg．故D正確．
故選：BD．

點(diǎn)評(píng) 該題考查豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)，內(nèi)管可以對(duì)小球提供支持力，可化為輕桿模型，在最高點(diǎn)時(shí)，小球速度可以為零，與繩的模型一定要區(qū)分開(kāi)．