Question

17．在天文學中，把兩顆相距較近的恒星叫雙星，已知兩恒星的質(zhì)量分別為m和M，兩星之間的距離為L，兩恒星分別圍繞共同的圓心作勻速圓周運動，如圖所示，求恒星運動的半徑和周期．

Answer 1

分析 雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，抓住角速度相等，向心力相等求出軌道半徑之比，進一步計算軌道半徑大小，再求解角速度的大小

解答 解：設(shè)M、m的軌道半徑分別為r₁、r₂，角速度為ω，根據(jù)牛頓第二定律得：
對M有：G$\frac{Mm}{{L}^{2}}$=Mω²r₁ ①
對m有：G$\frac{Mm}{{L}^{2}}$=mω²（L-r₁） ②
由以上二式有：r₁=$\frac{m}{M+m}$L，r₂=L-r₁=$\frac{M}{M+m}$L
由①②解得：$ω=\sqrt{\frac{G（M+m）}{{L}^{3}}}$
周期為 T=$\frac{2π}{ω}=2πL\sqrt{\frac{L}{G（M+m）}}$
答：恒星M和m運動的半徑分別為$\frac{m}{M+m}$L、$\frac{M}{M+m}$L，周期為$2πL\sqrt{\frac{L}{G（M+m）}}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握雙星模型系統(tǒng)，知道它們靠相互間的萬有引力提供向心力，向心力的大小相等，角速度的大小相等．