Question

1．如圖所示，半徑為R=1.8m的$\frac{1}{4}$光滑圓弧軌道AB，下端B恰與小車右端上表面平滑對(duì)接且到豎直擋板的距離為2.4m，小車固定在地面上，小車長(zhǎng)未知，小車上表面距地面的高度h=0.2m，現(xiàn)有一質(zhì)量為m=2kg的滑塊，從圓弧軌道頂端由靜止釋放，滑到B端后沖上小車，滑塊與小車上表面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.8，重力加速度g=10m/s²．
（1）求滑塊到達(dá)B端時(shí)，軌道對(duì)它支持力的大��；
（2）滑塊離開小車后恰好落在擋板底端，求小車的長(zhǎng)度；
（3）若撤去小車，在A點(diǎn)給滑塊一豎直向下的初速度，滑塊也可以從B點(diǎn)平拋落到擋板的底端，求此初速度的大�。�

Answer 1

分析 （1）滑塊從A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程，利用機(jī)械能守恒定律求出滑塊在B點(diǎn)的速度，在B點(diǎn)滑塊受到的支持力和重力的合力提供向心力，利用牛頓第二定律列式求出軌道對(duì)它支持力的大小；
（2）利用動(dòng)能定理，結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，列出方程，求出小車的長(zhǎng)度；
（3）撤去小車后，滑塊從B點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向和水平方向分別列式，求出滑塊在B點(diǎn)的速度，滑塊從A運(yùn)動(dòng)到B由機(jī)械能守恒列式，求出在A點(diǎn)給滑塊的一豎直向下的初速度大�。�

解答 解：（1）滑塊從A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律有：
mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
在B點(diǎn)由牛頓第二定律有：
${F}_{N}-mg=m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：F_N=60N
（2）設(shè)滑塊離開小車時(shí)的速度為v₁，由動(dòng)能定理有：
$-μmgL=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
離開小車后，滑塊做平拋運(yùn)動(dòng)，則
豎直方向有：h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
水平方向有：x=v₁t
且x+L=2.4m
解得：L=2m
（3）撤去小車后，滑塊從B點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)落到擋板的底端
豎直方向有：h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
水平方向有：2.4m=v₂t
設(shè)在A點(diǎn)給滑塊一豎直向下的初速度v₀，則滑塊從A到B的過(guò)程中，由機(jī)械能守恒定律有
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}+mgR=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
解得：v₀=$6\sqrt{3}$m/s
答：（1）滑塊到達(dá)B端時(shí)，軌道對(duì)它支持力的大小為60N；
（2）滑塊離開小車后恰好落在擋板底端，小車的長(zhǎng)度為2m；
（3）若撤去小車，在A點(diǎn)給滑塊一豎直向下的初速度，滑塊也可以從B點(diǎn)平拋落到擋板的底端，此初速度的大小為$6\sqrt{3}$m/s．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了機(jī)械能守恒，平拋運(yùn)動(dòng)和牛頓運(yùn)動(dòng)定律，解題的關(guān)鍵是對(duì)滑塊的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析，根據(jù)運(yùn)動(dòng)情況和受力情況，結(jié)合牛頓運(yùn)動(dòng)定律列式求解．