Question

17．如圖所示，兩木塊的質(zhì)量為m、M，中間彈簧的勁度系數(shù)為k，彈簧下端與M連接，m與彈簧不連接，現(xiàn)將m下壓一段距離釋放，它就上下做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)過程中，m始終沒有離開彈簧．試求：
（1）m振動(dòng)的振幅的最大值．
（2）m以最大振幅振動(dòng)時(shí)，M對(duì)地面的最大壓力．
（3）若m與彈簧也連在一起，要使m振動(dòng)過程中，M不離開地面，m振動(dòng)的最大加速度和最大振幅多少？
（4）在第（3）中M對(duì)地面的最大壓力多大？

Answer 1

分析 （1）要使m振動(dòng)過程中始終不離開彈簧，m振動(dòng)的最大振幅對(duì)應(yīng)m振到最高點(diǎn)時(shí)，彈簧處于原長(zhǎng)狀態(tài)，或?qū)��?yīng)m在最低點(diǎn)時(shí)彈簧的壓縮量．
（2）m振動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，彈簧對(duì)M的壓力最大，M對(duì)地面的壓力也最大．
（3）撤去外力后，m以未加壓力時(shí)的位置為平衡位置做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，當(dāng)M剛好要離開地面時(shí)，m處于最高點(diǎn)時(shí)，m的加速度最大，根據(jù)牛頓第二定律即可求最大加速度．
（4）振幅等于物體離開平衡位置的最大距離．當(dāng)m運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，M對(duì)地面的壓力最大．根據(jù)對(duì)稱性和牛頓第二定律求M對(duì)地面的最大壓力．

解答 解：（1）在平衡位置時(shí)，設(shè)彈簧的壓縮量為x₀有：kx₀=mg．
要使m振動(dòng)過程中不離開彈簧，m振動(dòng)的最高點(diǎn)不能高于彈簧原長(zhǎng)處，所以m振動(dòng)的振幅的最大值為：A=x₀=$\frac{mg}{k}$
（2）m以最大振幅A振動(dòng)時(shí)，振動(dòng)到最低點(diǎn)，彈簧的壓縮量最大，為：2A=2x₀=$\frac{2mg}{k}$，
對(duì)M受力分析可得：F_N=Mg+k•$\frac{2mg}{k}$=Mg+2mg，
由牛頓第三定律得，M對(duì)地面的最大壓力為Mg+2mg．
（3）在m運(yùn)動(dòng)過程中，彈簧對(duì)m、M施加的彈力的方向可以向上也可以向下．選M為研究對(duì)象，剛好始終不離開地面，即N_min=0．
由平衡條件F+N=Mg，
可知F_max=Mg．此時(shí)，彈簧處于伸長(zhǎng)狀態(tài)，木塊m的加速度最大，為：a_max=$\frac{{F}_{max}+mg}{m}$=$\frac{（M+m）g}{m}$．
在最低點(diǎn)時(shí)，設(shè)m受到的彈力為F′，則：F′-mg=-ma_max
又：F′=kA′
所以：A′=$\frac{Mg+mg}{k}$
（4）要使木塊M對(duì)地面的壓力最大，此時(shí)彈簧對(duì)M的彈力方向應(yīng)向下．此時(shí)，彈簧處于壓縮狀態(tài)，選M為研究對(duì)象，對(duì)其受力分析有：N′=F′+Mg．要使N′最大，則F′最大．這里要注意，F(xiàn)_max′≠F_max=Mg．根據(jù)木塊m做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，在m運(yùn)動(dòng)到最高、最低兩點(diǎn)的加速度具有對(duì)稱性，大小相等．在最低點(diǎn)，對(duì)m有：
F_max′-mg=ma_max，a_max=$\frac{（M+m）g}{m}$．
聯(lián)立兩式得：N_max′=Mg+F_max′=2（M+m）g
根據(jù)牛頓第三定律有：N_max=N_max′=2（M+m）g．
答：（1）m振動(dòng)的振幅的最大值是$\frac{mg}{k}$；
（2）m以最大振幅振動(dòng)時(shí)，M對(duì)地面的最大壓力是Mg+2mg．
（3）若m與彈簧也連在一起，要使m振動(dòng)過程中，M不離開地面，m振動(dòng)的最大加速度是$\frac{（M+m）g}{m}$，最大振幅是$\frac{Mg+mg}{k}$；
（4）在第（3）中M對(duì)地面的最大壓力是2（M+m）g．

點(diǎn)評(píng) 本題要注意撤去外力后，A以未加壓力時(shí)的位置為平衡位置做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，當(dāng)B剛好要離開地面時(shí)，A處于最高點(diǎn)時(shí)，A的加速度最大，A處于最低點(diǎn)時(shí)，彈簧對(duì)B的壓力最大，難度適中．