Question

如圖所示，坐標(biāo)系xOy在豎直平面內(nèi)，y軸沿豎直方向，第二、三和四象限有沿水平方向、垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．第四象限的空間內(nèi)有沿x軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)為E．一個(gè)帶正電荷的小球從圖中x軸上的M點(diǎn)，沿著與水平方向成θ=30°角的斜向下的直線做勻速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過y軸上的N點(diǎn)進(jìn)入x＜0的區(qū)域內(nèi)．要使小球進(jìn)入x＜0區(qū)域后能在豎直面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，需在x＜0區(qū)域內(nèi)另加一勻強(qiáng)電場(chǎng)．（已知重力加速度為g）
（1）求在x＜0區(qū)域內(nèi)所加勻強(qiáng)電場(chǎng)E₁的大小和方向；
（2）若帶電小球做圓周運(yùn)動(dòng)通過y軸上的P點(diǎn)（P點(diǎn)未標(biāo)出），求小球從N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)所用的時(shí)間t；
（3）若在第一象限加一勻強(qiáng)電場(chǎng)，可使小球從P點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)，求此電場(chǎng)強(qiáng)度的最小值E₂．

Answer 1

分析：（1）由題意，小球沿直線MN做勻速運(yùn)動(dòng)，分析受力，根據(jù)平衡條件可得到電場(chǎng)力qE與重力mg的關(guān)系；要使小球進(jìn)入x＜0區(qū)域后能在豎直面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，球受的重力mg必與電場(chǎng)力qE₁是一對(duì)平衡力，再由平衡條件得到qE₁與重力的關(guān)系，即可求出勻強(qiáng)電場(chǎng)E₁的大小和方向；并求出小球在第四象限運(yùn)動(dòng)的速度．
（2）小球從N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)過程，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)的公式可求得周期，作出小球的軌跡，由幾何知識(shí)求得軌跡的圓心角，即可求出小球從N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)所用的時(shí)間t．
（3）小球從P點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)，當(dāng)電場(chǎng)力與PM連線垂直向上時(shí)，電場(chǎng)力最小，場(chǎng)強(qiáng)也最小，而且合力沿PM方向，由平行四邊形定則可求出此電場(chǎng)強(qiáng)度的最小值E₂．

解答：解：（1）小球在MN段受力如圖．由題意，小球在MN段球做勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以球受到如圖所示的三個(gè)力而平衡所以有：mgtan30°=qE   ①
        qvBsin30°=qE  ②
要使小球進(jìn)入x＜0區(qū)域后能在豎直面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，球受的重力mg必與電場(chǎng)力qE₁是一對(duì)平衡力，則有
  qE₁=mg    ③
聯(lián)立①③解得：E₁=

3

E，方向豎直向上．
由①②得，v=

2E

B

  ④
（2）球在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期是：T=

2πR

v

⑤
而qvB=m

v2

R

，⑥
由④⑤⑥解得T=

2 3 πE

Bq

小球從N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)所用的時(shí)間t為 t=

2

3

T=

4 3 πE

3Bq

（3）小球從P點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)，當(dāng)電場(chǎng)力與PM連線垂直向上時(shí)，電場(chǎng)力最小，則有
   sin60°=

qE2

mg

解得，E₂=

3

2

E
答：
（1）在x＜0區(qū)域內(nèi)所加勻強(qiáng)電場(chǎng)E₁的大小為E₁=

3

E，方向豎直向上；
（2）小球從N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)所用的時(shí)間t是

4 3 πE

3Bq

；
（3）要使小球從P點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)，電場(chǎng)強(qiáng)度的最小值E₂是

3

2

E．

點(diǎn)評(píng)：本題的解題關(guān)鍵是抓住小球做勻速直線運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)的條件，分析受力情況，畫出運(yùn)動(dòng)軌跡．