Question

如圖所示，在xOy平面內(nèi)，一質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子（重力不計(jì)）以速度v₀從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿與+x方向成θ角射入第一象限區(qū)，并從x軸上x₁=a的A點(diǎn)離開第一象限區(qū)，速度方向與+x方向也成θ角．
（1）若在xOy平面存在一電場(chǎng)，帶點(diǎn)粒子在電場(chǎng)力作用下沿圓弧勻速率從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，θ=30°，求O點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E和粒子從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的時(shí)間t．
（2）若只存在一垂直于xOy平面的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B是可以調(diào)節(jié)的，且滿足0≤B≤B_m，θ=30°，求圓形磁場(chǎng)區(qū)的最小半徑r₀．
（3）若只有第一象限內(nèi)存在一垂直于xOy平面的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)，且θ=45°，求磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值B₀．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)幾何關(guān)系可知帶電粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡的長度，再根據(jù)粒子勻速運(yùn)動(dòng)可以求得粒子的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間的大��；
（2）根據(jù)幾何關(guān)系可知帶電粒子在磁場(chǎng)中的半徑，由洛倫茲力作為向心力可以求得粒子的運(yùn)動(dòng)的半徑的大��；
（3）磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度越小，粒子回旋半徑越大，則磁場(chǎng)區(qū)半徑越大，當(dāng)磁場(chǎng)區(qū)圓邊界與xy軸相切，磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度最小．

解答：解：（1）有幾何關(guān)系可知，帶電粒子運(yùn)動(dòng)的半徑r₁=x₁=a，
粒子在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)2θ=

π

3

，
由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有，
qE=m

v 2 0

r1

t=

2θr

v0

解得 E=

mv 2 0

aq

t=

πa

3v0

（2）如圖所示，設(shè)圓周運(yùn)動(dòng)的最小半徑為r₂，則
qv₀B_m=m

v 2 0

r2

r₀=

r2

2

解得 r₀=

mv0

2qBm

（3）如圖所示，圓形磁場(chǎng)區(qū)只限于第一象限內(nèi)，磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度越小，粒子回旋半徑越大，則磁場(chǎng)區(qū)半徑越大．
當(dāng)磁場(chǎng)區(qū)圓邊界與xy軸相切，磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度最小，
設(shè)對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)半徑為r₃，則
r₃=

a

2

qv₀B₀=m

v 2 0

r3

解得 B₀=

2mv0

aq

點(diǎn)評(píng)：本題考查帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，要掌握住半徑公式、周期公式，畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡后，幾何關(guān)系就比較明顯了．